2.4.2 圆的一般方程 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
特征：
直接看出圆心与半径
复习
圆心 半径
(1,-2)
(-2,2)
(-a,2)
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2
展开，得
-
2
2
2
2
2
2
0
2
=
-
+
+
-
+
r
b
a
by
ax
y
x
由于a, b, r均为常数
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
动动手
1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线都是圆呢？
思考
2.下列方程表示什么图形？
（1）x2+y2-2x+4y+1=0；
（2）x2+y2-2x+4y+5 =0；
（3）x2+y2-2x+4y+6=0.
答案：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.
配方可得：
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
(1) 当D2+E2-4F>0时,表示以（ ）为圆心，以
（ ）为半径的圆.
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x= - y=-，表示一个点（ ）.
动动脑
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
②没有xy这样的二次项；
① x2与y2系数相同并且不等于0；
圆的一般方程:
③圆心为(-,-)，半径r=.
探究新知
说明：
思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？
标准方程易于看出圆心与半径.
一般方程突出形式上的特点.
(x-a)2+(y-b)2=r2
1.判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0
(2) 2x2+2y2-12x+4y=0
(3) x2+y2-12x+6y+50=0
是
圆心（1，-2）半径3
是
圆心（3，-1）半径
不是
小试牛刀
2. 若 x2+y2-2ax-y+a=0 表示圆，则a的取值范围是（ ）
D
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
待定系数法
典型例题
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
相关点法
.
O
x
y
.B(4,3)
.
A(x0,y0)
.
M(x,y)
分析：点A的运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程.建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,从而求出点M的轨迹方程.
典型例题
小结3：相关点法步骤：
变式：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的 .
.
O
x
y
.B(4,3)
.
A(x0,y0)
.
M(x,y)
注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别.
所以点M的轨迹是以 为圆心,半径长是1的圆.
课堂小结
1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只有D2+E2-4F>0时，方程表示圆心 为半径为
3.方程形式的选用：
①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程
②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
2.一般方程 标准方程
配方
展开
4.轨迹方程的求法：待定系数法、相关点法