(共22张PPT)
4.2.2 变形后用提公因式法
北师版 八年级下册
新知导入
【做一做】把下列各式因式分解：
（1） 4m3-6m2； （2）a2b-5ab +9b；
（3） -a2 +ab-ac； （4）-2x3+4x2 - 6x.
2m2 (2m-3)
b (a2-5a +9)
-a(a–b+c)
-2x (x2 -2x+3 )
新知导入
上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？
新知讲解
把下列各式因式分解：
(1)a(x-3)+2b(x-3);
每项中都含有x-3，因此可以把x-3作为公因式提出来
解：(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b).
多项式的公因式是什么？
将（x-3）看做整体
新知讲解
每项中都含有y(x+1)，因此可以把y(x+1)作为公因式提出来
解：(2)y(x+1)+y2(x+1)2
=y(x+1)[1+y(x+1)]
=y(x+1)(xy+y+1).
把下列各式因式分解：
(2)y(x+1)+y2(x+1)2.
多项式的公因式是什么？
新知讲解
把下列各式因式分解：
(1)a(x-y)+b(y-x);
虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出x-y与y-x互为相反数，如果把其中一个提取一个“-”号，那么就可以出现公因式，即______________.
解：(1)a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
=(x-y)(a-b).
本题中的公因式是什么？
y-x=-(x-y)
新知讲解
(n-m)2=[-(m-n)]2=(m-n)2
解：(2)6(m-n)3-12(n-m)2
=6(m-n)3-12[-(m-n)]2
=6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2).
把下列各式因式分解：
(2)6(m-n)3-12(n-m)2.
新知讲解
在多项式中，如果括号内有符号不同的多项式部分，可以将它们转化成符号相同的多项式，再把相同的多项式作为公因式提取出来.
【总结归纳】
新知讲解
【做一做】请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：
(1)2-a= (a-2); (2)y-x= (x-y);
(3)b+a= (a+b); (4)(b-a)2= (a-b)2;
(5)-m-n= (m+n); (6)-s2+t2= (s2-t2).
-
-
+
+
-
-
新知讲解
【总结归纳】
（1）当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等。
如：a-b和-b+a，即a-b = -b+a；
（2）当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数。
如：a-b和b-a，即a-b = -（b-a）；
新知讲解
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数)
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数)
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数)
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数)
【总结归纳】
a-b和-a+b互为相反数：
a+b和-a-b互为相反数：
课堂练习
1.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是
( )
A. 8(7a-8b)(a-b)
B. 2(7a-8b)2
C. 8(7a-8b)(b-a)
D. -2(7a-8b)
C
课堂练习
2.把(x-y)2-(y-x)分解因式得 ( )
A. (x-y)(x-y-1)
B. (y-x)(x-y-1)
C. (y-x)(y-x-1)
D. (y-x)(y-x+1)
C
课堂练习
3.下列各式分解因式正确的是 ( )
A. 10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B. (a-b)3-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C. x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b+c=(b+c-a)(x+y-1)
D. (a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
D
课堂练习
4.把下列各式分解因式：
(1)15x(a-b)2-3y(b-a);
(2)(a-3)2-(2a-6);
(3)-20a-15ax;
(4)(m+n)(p-q)-(m+n)(q+p).
(1)3(a-b)(5ax-5bx+y).
(2)(a-3)(a-5).
(3)-5a(4+3x).
(4)-2q(m+n).
拓展提高
5.已知a＋b＝－6，ab＝7，求a2b＋ab2－a－b的值．
解：a2b＋ab2－a－b
＝ab(a＋b)－(a＋b)
＝(a＋b)(ab－1)．
当a＋b＝－6，ab＝7时，
原式＝(a＋b)·(ab－1)＝－6×(7－1)＝－36.
中考链接
A
6.【中考·天水】观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是( )
A．2S2－S B．2S2＋S
C．2S2－2S D．2S2－2S－2
课堂总结
本节课你学到了什么？
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而准确熟练地进行多项式的因式分解.
板书设计
课题： 4.2.2 变形后用提公因式法
教师板演区
学生展示区
一、例题讲解
二、课堂练习
三、总结归纳
作业布置
课本 P98 练习题
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北师版八年级下册数学4.2.2 变形后用提公因式法教学设计
课题 4.2.2变形后用提公因式法 单元 第四单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.经历探索多项式因式分解方法的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式.2.会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况).3.进一步了解因式分解的意义,加强学生的逆向思维,并渗透化归的思想方法.4.由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的逆向思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力.
重点 用提公因式法把多项式分解因式.
难点 探索多项式因式分解方法的过程.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【做一做】把下列各式因式分解： （1） 4m3-6m2； （2）a2b-5ab +9b；（3） -a2 +ab-ac； （4）-2x3+4x2 - 6x.解：（1）2m2 (2m-3) （2）b(a2-5a +9)（3）-a(a–b+c) （4）-2x (x2 -2x+3 )上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？ 学生利用所学知识分解因式。 回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤,为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.
讲授新课 把下列各式因式分解：(1)a(x-3)+2b(x-3); 多项式的公因式是什么？每项中都含有x-3，因此可以把x-3作为公因式提出来将（x-3）看做整体解：(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b).(2)y(x+1)+y2(x+1)2. 多项式的公因式是什么？每项中都含有y(x+1)，因此可以把y(x+1)作为公因式提出来解：(2)y(x+1)+y2(x+1)2 =y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(xy+y+1).把下列各式因式分解：(1)a(x-y)+b(y-x);本题中的公因式是什么？虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出x-y与y-x互为相反数，如果把其中一个提取一个“-”号，那么就可以出现公因式，即y-x=-(x-y).解：(1)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).(2)6(m-n)3-12(n-m)2.解：(2)6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12[-(m-n)]2=6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2).【总结归纳】在多项式中，如果括号内有符号不同的多项式部分，可以将它们转化成符号相同的多项式，再把相同的多项式作为公因式提取出来.【做一做】请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：(1)2-a= - (a-2); (2)y-x= - (x-y); (3)b+a= + (a+b); (4)(b-a)2= + (a-b)2; (5)-m-n= - (m+n); (6)-s2+t2= - (s2-t2). 【总结归纳】（1）当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等。如：a-b和-b+a，即a-b = -b+a；（2）当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数。如：a-b和b-a，即a-b = -（b-a）；a-b和-a+b互为相反数：(a-b)n = (b-a)n (n是偶数) (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数)a+b和-a-b互为相反数：(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数)(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数) 学生思考问题：(1)题中很明显地表明多项式中的两项都存在着x-3,通过观察,学生较容易找到第(1)题的公因式是x-3,而第(2)题的公因式是y(x+1),找到它即能顺利地进行因式分解。学生思考当题目中没有公因式时通过变形寻找公因式解决问题。 引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取多项式公因式.有了前面所得的规律,学生容易观察到多项式中括号内符号不同的多项式部分,并把它们转化成符号相同的多项式,再把相同的多项式作为公因式提取出来.进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式得出提取的公因式是多项式的方法与步骤.学生对于符号问题的解答有一定的困难,因而需要认真比较等号两边两个多项式符号上的异同,确定它们是互为相反数还是相等关系.
课堂练习 1.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是( C )A. 8(7a-8b)(a-b) B. 2(7a-8b)2C. 8(7a-8b)(b-a) D. -2(7a-8b)2.把(x-y)2-(y-x)分解因式得 ( C )A. (x-y)(x-y-1) B. (y-x)(x-y-1)C. (y-x)(y-x-1) D. (y-x)(y-x+1)3.下列各式分解因式正确的是 ( D )A. 10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)B. (a-b)3-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)C. x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b+c=(b+c-a)(x+y-1)D. (a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)4.把下列各式分解因式：(1)15x(a-b)2-3y(b-a);(2)(a-3)2-(2a-6);(3)-20a-15ax;(4)(m+n)(p-q)-(m+n)(q+p).解：(1)3(a-b)(5ax-5bx+y).(2)(a-3)(a-5).(3)-5a(4+3x).(4)-2q(m+n).5.已知a＋b＝－6，ab＝7，求a2b＋ab2－a－b的值．解：a2b＋ab2－a－b＝ab(a＋b)－(a＋b)＝(a＋b)(ab－1)．当a＋b＝－6，ab＝7时，原式＝(a＋b)·(ab－1)＝－6×(7－1)＝－36.6.【中考·天水】观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是( A )A．2S2－S B．2S2＋SC．2S2－2S D．2S2－2S－2 学生做练习。 通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对因式分解的理解是否到位,提取公因式的方法与步骤是否掌握,以便教师能及时地进行查缺补漏.
课堂小结 本节课你学到了什么？本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而准确熟练地进行多项式的因式分解.
板书 课题：4.2.2 变形后用提公因式法一、例题讲解二、课堂练习三、总结归纳
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