浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题

新梦想 新教育 新阵地 联谊学校联考
数学（理科）试题卷
命 题：新昌中学 张伯桥、章品福 审 题：台州中学 杨世长、戴小挺 校 稿：俞兴洪
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟
参考公式：
球的表面积公式：　　　　　　　 棱柱的体积公式：
球的体积公式：　　　　　　　　 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
其中R表示球的半径　　　　　　　　　 台体的体积公式：
锥体体积公式：　　　　　　　　　 其中分别表示棱台的上、下底面积，h表示
其中S表示锥体的底面积，h表示棱台的高 台体的高　　
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合A＝，B＝，则 （ ）
A． B． C．（3，4） D．（1，2）
2．集合{|}（其中i是虚数单位）中元素的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．无穷多个
3．若，则 是“”的 （ ）
A．充分非必要条件　　　 　　　 B．必要非充分条件
C．充分且必要条件　　　　　 D．既非充分也非必要条件
4．已知为等差数列，，，则 （ ）
A． B． C． D．
5．设函数与函数的对称轴完全相同，则
的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，
，，则该双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7．平行四边形ABCD中AC交BD于O，AC=5，BD=4，则 （ ）
A．41 B． C．9 D．
8．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C．(1,+∞) D．
9．如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），
那么从A到B的最短线路有（ ）条
A．100 B．400
C．200 D．250
10．棱长为2的正方体在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则点到原点O的最远距离为 （ ）
A． B． C．5 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则
该三棱锥的体积为
12．若展开式中二项式系数之和是1024，常数
项为，则实数的值是
13．执行右边的程序框图，若，则输出的
14．设数列的前n项和为，若数列是首项和公
比都是3的等比数列，则的通项公式_____
15．已知M，N为平面区域内的两个动点，
向量，则的最大值是________
16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为，长度不超
过8的弦，弦所在的直线与圆有公共点，则
的取值范围是
17．若函数的定义域用D表示，则使对D均成立的实数的范围是___
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题14分）已知向量m =，向量n =，且m与n所成角为，其中A、
B、C是的内角。
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求的取值范围。
19．（本题14分）口袋内有（）个大小相同的球，其中有3个红球和个白球．已知从
口袋中随机取出一个球是红球的概率是，且。若有放回地从口袋中连续地取四次球
（每次只取一个球），在四次取球中恰好取到两次红球的概率大于。
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）不放回地从口袋中取球（每次只取一个球），取到白球时即停止取球，记为第一次取到白球时的取球次数，求的分布列和期望。
20．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面，， ，， ，是的中点。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．
21．（本题15分）已知点是椭圆E：（）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A、B是椭圆E上两个动点，（）．求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．
22．（本题14分）已知函数在处取得极值，
且在处的切线的斜率为1。
（Ⅰ）求的值及的单调减区间；
（Ⅱ）设＞0，＞0，，求证：。
新梦想 新教育 新阵地 联谊学校联考(回头考) 数学（理科）参考答案：
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
A
B
B
C
C
A
C
D
二、填空题
11、 12、 13、 14、
15、40 16、 17、
三、解答题：
18、解：（Ⅰ） m =，且与向量n = （2，0）所成角为，


又
…………………………..7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，A+C=
===
，
， …………………14分
19、解：（I）由题设知，，
因为所以不等式可化为，
解不等式得，，即．
又因为，所以，即，
所以，所以，所以． ………………7分
（II）可取1，2，3 ，4
1
2
3
4
p
的分布列为
． ……………14分
20、解法一：
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，
故．
，平面．
而平面，． …………………4分
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面． …………………9分
（Ⅲ）过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得
．
在中，，，
则．
在中，．
所以二面角的正切值为． ………………15分
解法二：
（Ⅰ）证明：以AB、AD、AP为x、y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=a.

…………………5分
（Ⅱ）证明：


…………………9分
（Ⅲ）设平面PDC的法向量为
则
又平面APD的法向量是
，所以二面角的正切值是 …………………15分
21、解：（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，
∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），
|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，
椭圆E的方程为：； …………………4分
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由 得
（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=（1,- ），
所以x1+x2=-2，y1+y2=（2-）………①
又，，
两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②
以①式代入可得AB的斜率k=为定值； ……………9分
（Ⅲ）设直线AB的方程为y=x+t，
与联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0, △=3（4-t2），
AB|=，
点P到直线AB的距离为d=,
△PAB的面积为S=|AB|×d=, ………10分
设f（t）=S2=（t4-4t3+16t-16） （-2f’（t）=-3（t3-3t2+4）=-3（t+1）（t-2）2，由f’（t）=0及-2当t∈（-2,-1）时，f’（t）>0，当t∈（-1,2）时，f’（t）<0，f（t）=-1时取得最大值，
所以S的最大值为．此时x1+x2=-t=1=-2，=3． ………………15分
22、解：（Ⅰ）
，∴ ，即，∴
∴ ，又，∴ ，∴
综上可知
，定义域为＞0，
由＜0 得 0＜＜，∴的单调减区间为……………6分
（Ⅱ）先证
即证
即证：
令 ，∵＞0，＞0 ，∴ ＞0，即证
令 则
∴

① 当＞，即0＜＜1时，＞0，即＞0
在（0，1）上递增，∴＜＝0，
② 当＜，即＞1时，＜0，即＜0
在（1，＋∞）上递减，∴＜＝0，
③ 当＝，即＝1时，＝＝0
综合①②③知即
即
又
∴
综上可得 ……………14分