沪科版数学七年级下册 8.3 第2课时 平方差公式 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第8章 整式乘法与因式分解
8.3 第2课时 平方差公式
知识回顾
多项式乘多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 。
单项式×
多项式
单项式×
单项式
多项式×
多项式
(a + b)( m + n)
=am
+an
+bm
+bn
情境导入
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
获取新知
由多项式乘法计算：
(1)(3m＋1)(3m－1)；(2)(x2＋y)(x2－y).
2. 你能得到(a＋b)(a－b)的计算公式吗？
这个公式称为平方差公式，用语言如何表述？
3. 你能设计一个图形来说明上面公式吗？
(1)=(3m)2-3m+3m-12=(3m)2-12;
(2)=(x2)2-x2y+x2y-y2=(x2)2-y2
平方差公式：
两数的和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差．
用式子表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
平方差公式
相同为a
相反为b
适当交换
合理加括号
注意：
a和b可以是
单项式，也
可以是多项式
(a+b)(a-b) = a2-b2
a
b
a-b
a-b
阴影部分的面积为
S=a2-b2
阴影部分的面积为
S=(a+b)(a-b)
a+b
a-b
还有其他的几何验证平方差公式的方法吗？
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
例题讲解
例1 利用乘法公式计算：
(1)1999×2001; (2) 2 014×2 016－2 0152.
解：(1) 1999×2001
＝(2000－1)×(2000＋1)
＝20002－12
＝3999 999.
关键：
a为两数和的平均数；
b为|两数差|的平均数
(2)2 014×2 016－2 0152
＝(2 015－1)(2 015＋1)－2 0152
＝2 0152－1－2 0152
＝－1；
例2 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x+2y)；
(3) (－m+n)(－m－n) ； (4)(x＋3)(x－3)(x2＋9)
解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2；
(2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ；
(3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
(4) (x＋3)(x－3)(x2＋9)＝(x2－9)(x2＋9)＝ x4－81.
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
随堂演练
1. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　)
A．(2a＋b)(－2a＋b)
B．(a＋2)(2＋a)
C．(－a＋b)(a－b)
D．(a＋b2)(a2－b)
A
2.下列运用平方差公式的计算中,错误的是(　　)
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(x+1)(x-1)=x2-1
C.(2x+1)(2x-1)=2x2-1
D.(-a+b)(-a-b)=a2-b2
C
3. 计算2 0162－2 015×2 017的结果是(　　)
A．1　　　 B．－1　　　
C．2　　　 D．－2
A
4. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a,b的恒等式为(　　)
A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.a(a-b)=a2-ab
C
5.填一填：
(a-b)(a+b) a b a2－b2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
1
x
－3
a
12－x2
a
1
0.3x
1
(－3)2－a2
a2－12
( 0.3x)2－12
6.(1)如图①,可以求出阴影部分的面积是　　　 (写成两数平方差的形式);
(2)若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,如图②,则这个长方形的宽是　　　　,长是　　　,面积是　　　　　 (写成多项式乘法的形式);
(3)比较图①②中阴影部分的面积,可以得到什么结论
a2－b2
a－b
a+b
(a+b)(a－b)
结论:(a+b)(a-b)=a2-b2.
（1）(a+3b)(a- 3b)；
（2）(3+2a)(－3+2a)；
7.利用平方差公式计算：
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
（4）(－5+6x)(－6x－5).
解：(1)原式=a2－(3b)2=a2－9b2 ；
(2)原式=(2a+3)(2a－3)=(2a)2－32=4a2－9；
(3)原式=(-2x2 )2－y2=4x4－y2.
(4)原式=(－5+6x)(－5－6x)=(－5)2－(6x)2=25－36x2.
8.运用平方差公式计算：
(1)118×122；(2) 1.03×0.97；(3) 40 ×39 .
解：(1)原式=(120－2)(120＋2)
= 1202－22
=14400－4
=14396.
(3)原式
(2)原式 ＝(1＋0.03)(1－0.03)
＝12－0.032
＝1－0.000 9
＝0.999 1；
9. 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何 ”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你知道张老汉是否吃亏了吗
解：张老汉是亏了，设原来正方形土地的边长为x米，面积为x2平方米，现在新的长方形的长变为了（x+5）米，宽变为(x-5)米，面积为(x+5)(x-5)=x2-25,所以亏了
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用