数学
化学
17.2 第3课时 公式法
知识点 1 一元二次方程求根公式的运用
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c都是常数,且a≠0)的求根公式是 , 用求根公式的前提条件是 .
2.用公式法解-x2+3x=1时,先求出a,b,c的值,则a,b,c依次为 ( )
A.-1,3,1 B.1,-3,1
C.-1,-3,-1 D.1,-3,-1
3.在方程2x2+3x=1中,b2-4ac的值为 ( )
A.1 B.-1 C.17 D.-17
知识点 2 运用公式法解一元二次方程
4.用公式法解方程:5x+2=3x2.
将方程化为一般形式,得 ,
a=3,b= ,c= ,
b2-4ac= ,
代入求根公式,得x= = ,
所以x1= ,x2= .
5.(2020无锡改编)一元二次方程x2+x-1=0的解是 .
6.(教材例2变式)用公式法解下列方程:
(1)x2+x-2=0; (2)x2-x=3;
(3)y2=y-; (4)x(4x-3)+3=x.
7.解下列方程:
(1)x2-2x=2x+1(用两种不同的方法);
(2)2(x-3)2-5(x-3)-7=0.
8.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0.
(1)求出方程的根;
(2)当m为何整数时,此方程的两个根都为正整数
答案
17.2 第3课时 公式法
1.x= b2-4ac≥0
2.B 将方程整理为一般形式为-x2+3x-1=0或x2-3x+1=0,可得二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1,3,-1或1,-3,1.
3.C 将原方程化成一般形式,
得2x2+3x-1=0.
∵a=2,b=3,c=-1,
∴b2-4ac=32-4×2×(-1)=9+8=17.
故选C.
4.3x2-5x-2=0 -5 -2 49
2 -
5.x1=,x2=
∵a=1,b=1,c=-1,b2-4ac=12-4×1×(-1)=5>0,
∴x=,∴x1=,x2=.
6.解:(1)∵a=1,b=1,c=-2,
∴b2-4ac=1-4×1×(-2)=9>0,
∴x===,
∴x1=1,x2=-2.
(2)将原方程化成一般形式,得
x=0.
∵a=1,b=-1,c=-3,
b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0,
代入求根公式,得x=.
∴x1=,x2=.
(3)将原方程化成一般形式,得y2-y+=0.
∵a=1,b=-,c=,
b2-4ac=(-)2-4×1×=0,
代入求根公式,得y=.
∴y1=y2=.
(4)原方程可化为4x2-4x+3=0.
∵a=4,b=-4,c=3,
b2-4ac=(-4)2-4×4×3=16-48<0,
∴原方程没有实数根.
7.解:(1)解法一(配方法):移项,得x2-4x=1.
配方,得x2-4x+4=1+4,
即(x-2)2=5,
∴x-2=±.
∴x1=2+,x2=2-.
解法二(公式法):整理,得x2-4x-1=0.
∵a=1,b=-4,c=-1,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20>0,
∴x===2±,
∴x1=2+,x2=2-.
(2)设x-3=y,则原方程可化为2y2-5y-7=0.
∵a=2,b=-5,c=-7,
∴b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=81,
∴y==,
∴y1=-1,y2=.
当y=-1时,x-3=-1,∴x=2;
当y=时,x-3=,∴x=.
∴原方程的解为x1=2,x2=.
8.解:(1)根据题意,得m≠1.
∵b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,
∴x=,
∴x1=,x2=1.
(2)由(1)知x1==1+.
∵方程的两个根都是正整数,∴是正整数.
∵m为整数,
∴m-1=1或m-1=2,
∴m=2或m=3.数学
化学
17.2 第4课时 因式分解法
知识点 1 因式分解法的原理和一般步骤
1.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2,这种解法体现的数学思想是 ( )
A.转化思想 B.函数思想
C.数形结合思想 D.公理化思想
2.用因式分解法解一元二次方程(x+3)(x-1)=0,将它转化为两个一元一次方程是 ( )
A.x+3=1,x-1=0 B.x+3=0,x-1=1
C.x+3=0,x-1=0 D.x-3=0,x+1=0
知识点 2 用因式分解法解一元二次方程
3.方程(x-2)(x+3)=0的解是 ( )
A.x=2 B.x=-3
C.x1=-2,x2=3 D.x1=2,x2=-3
4.(2021益阳)一元二次方程x2-3x=0的解是 .
5.已知关于x的一元二次方程3(x-1)(x-m)=0的两个根分别是1和2,则m的值是 .
6.(2020马鞍山当涂县期末)一元二次方程(x+1)2=x+1的根是 .
7.小华在解一元二次方程x(x-1)=x时只得出一个根是x=2,则被他漏掉的另一个根是x= .
8.用因式分解法解下列方程:
(1)3y2+y=0; (2)(x-3)2=7(x-3);
(3)(x+1)2-5=0.
知识点 3 用因式分解法解形如x2+(a+b)x+ab=0的方程
9.因为(x+3)(x+4)=x2+7x+12,所以一元二次方程x2+7x+12=0可以用因式分解法解,原方程化为 ,可得x+3=0或 ,所以原方程的解是 .
10.经计算,整式x+1与x-4的积为x2-3x-4,则方程x2-3x-4=0的根为 ( )
A.x1=-1,x2=-4 B.x1=-1,x2=4
C.x1=1,x2=4 D.x1=1,x2=-4
11.(2021常德)解方程:x=0.
12.(2020合肥包河区期末)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是 ( )
A.-1 B.2
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2
13.如图1,已知A,B,C是数轴上异于原点O的三个点,且O为AB的中点,B为AC的中点.若点B表示的数是x,点C表示的数是x2-3x,则x= .
图1
14.(2021广安)一个三角形的两边长分别为3和5,第三边长是方程x2-6x+8=0的根,则这个三角形的周长为 .
15.用因式分解法解下列方程:
(1)(2020合肥蜀山区期末)x(x-1)=3(x-1);
(2)4x2-4x+1=x2-6x+9;
(3)(x+2)2-8(x+2)+16=0.
16.已知方程(x2-x)2-4(x2-x)=-4在实数范围内有解,求代数式2x2-2x+1的值.
“串”题训练 利用十字相乘法分解因式解一元二次方程
例:(1)将2x2-3x-2进行因式分解,我们可以按下面的方法解答:
解:①竖分二次项与常数项:2x2=x·2x,-2=(-2)×1.
②交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果须等于多项式中的一次项):
③横向写出两因式:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1).
我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法.
(2)根据乘法原理:若ab=0,则a=0或b=0.
试用上述方法和原理解下列方程:
(1)x2-3x+2=0; (2)x=0;
(3)x2-(+)x+=0; (4)2x2+x-6=0.
变式1:方程x2=0的解是 .
变式2:已知x2+xy-6y2=0,则的值是 .
答案
17.2 第4课时 因式分解法
1.A 2.C
3.D ∵(x-2)(x+3)=0,∴x-2=0或x+3=0,即x1=2,x2=-3.故选D.
4.x1=0,x2=3 x2-3x=0,x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3.
5.2 ∵3(x-1)(x-m)=0,∴x-1=0或x-m=0,∴x1=1,x2=m.
∵关于x的一元二次方程3(x-1)(x-m)=0的两个根分别是1和2,∴m=2.
6.x1=-1,x2=0 移项,得(x+1)2-(x+1)=0,左边分解因式,得(x+1)(x+1-1)=0,所以x1=-1,x2=0.
7.0 用因式分解法解这个方程,可知漏掉的根为x=0.
8.解:(1)把方程左边分解因式,得y(3y+1)=0,
∴y=0或3y+1=0,
解得y1=0,y2=-.
(2)原方程可变为(x-3)2-7(x-3)=0,
把方程左边分解因式,得
(x-3)()=0,∴x-3=0或x-10=0,
解得x1=3,x2=10.
(3)把方程左边分解因式,得
(x+1+)(x+1-)=0,
∴x+1+=0或x+1-=0,
解得x1,x2=-1+.
9.(x+3)(x+4)=0 x+4=0 x1=-3,x2=-4
10.B 由题意知x2-3x-4=0可因式分解为(x+1)(x-4)=0,所以x+1=0或x-4=0,所以x1=-1,x2=4.故选B.
11.解:方程左边分解因式,得(x+1)(x-2)=0,
∴x+1=0或x-2=0.
解得x1=-1,x2=2.
12.D 移项,得x(x-2)+(x-2)=0,∴(x+1)(x-2)=0,∴x+1=0或x-2=0,
∴x1=-1,x2=2.
13.6 ∵O是原点,且是AB的中点,
∴OA=OB.
∵点B表示的数是x,
∴点A表示的数是-x.
∵B是AC的中点,
∴AB=BC,
∴)=(x2-3x)-x,
解得x1=0,x2=6.
∵点B异于原点,∴x=6.
14.12 x2-6x+8=0,
(x-2)(x-4)=0,
x-2=0或x-4=0,
所以x1=2,x2=4.
而2+3=5,所以三角形第三边的长为4,
所以三角形的周长为3+4+5=12.
15.解:(1)原方程变形为x(x-1)-3(x-1)=0.
将方程左边分解因式,得(x-1)(x-3)=0,
∴x-1=0或x-3=0,
∴x1=1,x2=3.
(2)原方程变形为(2x-1)2-(x-3)2=0.
把方程左边分解因式,得
[(2x-1)+(x-3)][(2x-1)-(x-3)]=0,
即(3x-4)(x+2)=0,
∴3x-4=0或x+2=0,
∴x1=,x2=-2.
(3)由(x+2)2-8(x+2)+16=0,
得(x+2-4)2=0,即(x-2)2=0,
∴x1=x2=2.
16.解:原方程可变形为(x)2=0,
∴x2-x=2,
∴2x2-2x+1=2(x2-x)+1=2×2+1=5.
“串”题训练
例:解:(1)(x-1)(x-2)=0,
∴x-1=0或x-2=0,∴x1=1,x2=2.
(2)(x-3)(x+2)=0,∴x-3=0或x+2=0,∴x1=3,x2=-2.
(3)x1=,x2= (4)x1=,x2=-2
变式1:x1=4,x2=-3
变式2:-或数学
化学
17.2 第2课时 配方法
知识点 1 理解配方的意义和方法
1.一元二次方程x2-4x=5的左边想配成完全平方式,需要加上常数 ,配方后得 .
2.完成下列配方过程:
(1)x2+10x+ =(x+5)2;
(2)x2-x+ =(x- )2;
(3)x2-2x+ =(x- )2.
3.(2021合肥蜀山区期末)把方程x2-6x-1=0转化成(x+m)2=n的形式,则m,n的值是 ( )
A.3,8 B.3,10 C.-3,3 D.-3,10
知识点 2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
4.用配方法解方程x2+10x+16=0.
解:移项,得 .
两边同时加52,得 +52= +52.
左边写成完全平方式的形式,得 .
开平方,得 .
解得 .
5.(2021丽水)用配方法解方程x2+4x+1=0时,配方结果正确的是 ( )
A.(x-2)2=5 B.(x-2)2=3
C.(x+2)2=5 D.(x+2)2=3
6.(教材例1(1)变式)用配方法解方程:
(1)x2+6x+1=0; (2)x2-4x=5;
(3)x2-2x-2=0; (4)x2+1=3x.
知识点 3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
7.用配方法解方程2x=0,开始出现错误的步骤是 ( )
2x2-x=6,① x2-x=3,②
x2-x+=3+,③ x-2=3.④
A.① B.② C.③ D.④
8.(2020合肥庐阳区期末)用配方法解方程2x2-4x+1=0,则方程可变形为 ( )
A.(x-2)2= B.2(x-2)2=
C.(x-1)2= D.(2x-1)2=1
9.(教材例1(2)变式)用配方法解下列方程:
(1)2y2-2y=1; (2)3x2-5x=-2.
10.用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时,此方程可变形为 ( )
A.x+2= B.x+2=
C.x-2= D.x-2=
11.若|x2-4x+4|与互为相反数,则x+y的值为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.9
12.已知关于x的方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,则(m-n)2022= .
13.关于x的方程x2+2ax-b2+a2=0的根为 .
14.用配方法解下列方程:
(1)x2-6x+1=2x-15;
(2)x(x+4)=6x+12;
(3)3(x-1)(x+2)=x-7;
(4)(1+x)2+2(1+x)-4=0.
“串”题训练 利用配方法求最值
例:先阅读下面的例题,再按要求解答问题:
求代数式y2+4y+8的最小值.
解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4.
∵(y+2)2≥0,
∴(y+2)2+4≥4,
∴y2+4y+8的最小值是4.
请利用以上方法,解答下列问题:
(1)求代数式m2+m+1的最小值;
(2)求代数式4-x2+2x的最大值;
(3)求证:代数式a2+6a+12的值一定是正数.
变式1:设a,b为实数,求代数式a2+b2-4a-2b+6的最小值.
变式2:求证:不论x,y为何实数,代数式x2+2y2+2xy-4y+6的值不小于2.
答案
17.2 第2课时 配方法
1.4 (x-2)2=9
2.(1)52 (2)2 (3)()2
3.D 移项,得x2-6x=1.
配方,得x2-6x+9=10,即(x-3)2=10.
∵方程x2-6x-1=0转化成(x+m)2=n的形式,∴m=-3,n=10.
4.x2+10x=-16 x2+10x -16 (x+5)2=9
x+5=±3 x1=-8,x2=-2
5.D 方程x2+4x+1=0,整理,得x2+4x=-1,配方,得(x+2)2=3.
6.解:(1)移项,得x2+6x=-1.
配方,得x2+6x+9=8,即(x+3)2=8.
开平方,得x+3=±2.
解得x1=-3+2,x2.
(2)配方,得x2-4x+4=5+4,
即(x-2)2=9.
直接开平方,得x-2=±3,
∴x1=5,x2=-1.
(3)移项,得x2-2x=2,
配方,得x2-2x+1=2+1,
即(x-1)2=3,
直接开平方,得x-1=±,
∴x1=1+,x2=1-.
(4)移项,得x2-3x=-1.
配方,得x2-3x+=-1+,
即x-2=.
开平方,得x-=±.
∴x1=,x2=.
7.C 移项,得2x2-x=6.二次项系数化为1,得x2-x=3.配方,得x2-x+2=3+2,即x-2=3.观察上面的步骤可知,开始出现错误的步骤是③.
故选C.
8.C 2x2-4x+1=0,2x2-4x=-1,
x2-2x=-,x2-2x+1=1-,(x-1)2=.
9.解:(1)方程两边同除以2,得y2-y=,
配方,得y2-y+=+,
即y-2=,
开平方,得y-=±,
所以y1=,y2=.
(2)方程两边同除以3,得x2-x=-.
配方,得x2-x+2=-+2,
即x-2=.
开平方,得x-=±.
所以x1=1,x2=.
10.A
11.A 根据题意,得|x2-4x+4|+=0,所以|x2-4x+4|=0,=0,即(x-2)2=0,2=0,所以x=2,y=1,所以x+y=3.
故选A.
12.1 由(x+m)2=3,得x2+2mx+m2-3=0.由题意可得2m=4,m2-3=n,
∴m=2,n=1,
∴(m-n)2022=1.
13.x1=-a+b,x2
14.(1)x1=x2=4
(2)x1=1+,x2=1-
(3)原方程无实数根
(4)x1=-2,x2=--2
“串”题训练
例:解:(1)m2+m+1=m2+m++=m+2+.
∵m+2≥0,∴m+2+≥,
∴m2+m+1的最小值是.
(2)4-x2+2x=-x2+2x-1+5=-(x-1)2+5.
∵-(x-1)2≤0,∴-(x-1)2+5≤5,
∴4-x2+2x的最大值是5.
(3)证明:a2+6a+12=a2+6a+9+3=(a+3)2+3.
∵(a+3)2≥0,∴(a+3)2+3≥3,
∴a2+6a+12的值一定是正数.
变式1:解:∵原式=a2-4a+4+b2-2b+1+1=(a-2)2+(b-1)2+1≥1,∴代数式的最小值为1.
变式2:证明:∵x2+2y2+2xy-4y+6=x2+2xy+y2+y2-4y+4+2=(x+y)2+(y-2)2+2≥2,
∴不论x,y为何实数,代数式x2+2y2+2xy-4y+6的值不小于2.数学
化学
17.2 第1课时 直接开平方法
知识点 1 用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程
1.解方程16x2-49=0.移项,得 .二次项系数化为1,得 .开平方,得 .
2.若关于x的一元二次方程x2-m=0有实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m<0 B.m≤0
C.m>0 D.m≥0
3.用直接开平方法解下列方程:
(1)9x2=25; (2)x2-0.25=0.
知识点 2 用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的一元二次方程
4.解方程3(x-2)2-48=0时,把(x-2)2作为一个整体,移项、系数化为1,得 ,直接开平方,得 ,即 ,解得x1= ,x2= .
5.若一元二次方程(x+6)2=64可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=8,则另一个一元一次方程是 ( )
A.x-6=-8 B.x-6=8
C.x+6=8 D.x+6=-8
6.(教材练习变式)解方程:
(1)(2020阜阳颍州区一模)(x-3)2=4;
(2)(y+2)2-6=0.
7.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则= .
8.若(x2+y2-1)2=4,则x2+y2= .
9.解下列方程:
(1)3(x+1)2=;
(2)(2x-1)2=(3-x)2.
10.在实数范围内定义运算“”,其法则为ab=a2-b2,求满足式子x (34)=15的x的值.
答案
17.2 第1课时 直接开平方法
1.16x2=49 x2= x=±
2.D x2-m=0,∴x2=m,所以只有当m≥0时,方程才有实数根.
3.解:(1)二次项系数化为1,得x2=.
开平方,得x=±,
∴x1=,x2=-.
(2)移项,得x2=0.25,
二次项系数化为1,得x2=1.
开平方,得x=±1,
∴x1=1,x2=-1.
4.(x-2)2=16 x-2=±4 x-2=4或x-2=-4 6 -2
5.D 直接开平方,得x+6=±8,所以另一个方程是x+6=-8.
6.解:(1)开平方,得x-3=±2,
∴x-3=2或x-3=-2,
∴x1=5,x2=1.
(2)移项,得(y+2)2=6,
两边同除以,得(y+2)2=12,
开平方,得y+2=±2,
∴y+2=2或y+2=-2,
∴y1=-2+2,y2.
7.4 ∵ax2=b(ab>0),
∴x2=(ab>0),∴x=±,
即方程的两个根互为相反数,
从而m+1+2m-4=0,解得m=1,
∴关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2,-2,
∴=2,∴=4.故答案为4.
8.3 由(x2+y2-1)2=4,直接开平方,得x2+y2-1=±2,解得x2+y2=3或x2+y2=-1.
∵x2≥0,y2≥0,∴x2+y2≥0,∴x2+y2=3.
9.解:(1)方程左右两边同时除以3,
得(x+1)2=,
开平方,得x+1=±,
∴x+1=或x+1=-,
∴x1=-,x2=-.
(2)开平方,得2x-1=±(3-x),
即2x-1=3-x或2x-1=-3+x,
解得x1=,x2=-2.
10.解:∵ab=a2-b2,
∴x(34)=x(32-42)=x(-7)=x)2.
∵x(34)=15,
∴x)2=15,
∴x2=64,∴x=±8.
