沪科版数学八年级下册同步课时练习：17.3　一元二次方程根的判别式

数学
化学
17.3　一元二次方程根的判别式
知识点 1　不解方程,判别一元二次方程根的情况
1.(2021合肥包河区168中期中)一元二次方程x2+2020=0的根的情况是 (　　)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不等的实数根
C.只有一个实数根
D.无实数根
2.(2021合肥瑶海区38中期中)关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的实数根有 (　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.方程2x=0的根的判别式的值为　　　　.
4.(教材例题变式)不解方程,判别下列方程根的情况.
(1)x2+2x-3=0;　　(2)5x2+1=4x.
知识点 2　已知一元二次方程根的情况,求待定字母的值或取值范围
5.(2021合肥庐阳区45中期中)若关于x的方程x2+2x-k=0没有实数根,则k的值可以是 (　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
6.(2021合肥瑶海区二模)已知关于x的方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 (　　)
A.k< B.k> C.k<- D.k>-
7.(2021合肥长丰县期末)若关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有实数根,则k满足 (　　)
A.k≥0 B.k≤0且k≠-1
C.k<0且k≠-1 D.k≤0
8.(2021合肥包河区期中)已知关于x的一元二次方程mx2-(2m-3)x+m-1=0有两个实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为正整数,求此方程的根.
9.(2020通辽)已知关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根,则k的取值范围是 (　　)
A.k<1且k≠0 B.k<1
C.k≤1且k≠0 D.k≤1
10.(2021安徽二模)一元二次方程(x-1)(x+5)=3x+1的根的情况是 (　　)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.只有一个实数根
11.(2021烟台)已知关于x的一元二次方程x2-mnx+m+n=0,其中m,n在数轴上对应点的位置如图1所示,则这个方程根的情况是 (　　)
图1
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
12.(2021凉山州)函数y=kx+b的图象如图1所示,则关于x的一元二次方程x2+bx+k-1=0的根的情况是 (　　)
图1
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
13.若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根,则2m3-8mn+2022的值为　　　　.
14.(2021合肥高新区期末)定义新运算☆,对于任意实数m,n都有m☆n=m2n+n.例如:-3☆2=(-3)2×2+2=20.若2☆a的值小于0,请判断方程2x2-bx+a=0的根的情况.
15.(2021合肥瑶海区期末)已知关于x的方程2x2+kx+k-3=0.
(1)试说明无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若k=5,请解此方程.
“串”题训练　根的判别式与三角形的边长
方法指引:
列出根的判别式后化简,利用三角形三边之间的关系来说明根的判别式是大于0、等于0还是小于0,从而得出方程根的情况.也可以根据方程根的情况,利用根的判别式判断三角形的形状.
例:已知a,b,c是△ABC的三边长,判断关于x的一元二次方程cx2+(a+b)x+=0的根的情况.
变式1:在Rt△ABC中,直角边长分别为a,b,斜边长为c,则有a2+b2=c2.若把关于x的方程ax2+cx+b=0称为“勾系一元二次方程”,则这类“勾系一元二次方程”的根的情况是(　　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.一定有实数根
变式2:已知a,b,c分别是三角形的三边长,请说明一元二次方程(a+b)x2+2ax+a+b=0的根的情况.
答案
17.3　一元二次方程根的判别式
1.D　 ∵a=1,b=0,c=2020,
∴Δ=b2-4ac=0-4×1×2020=-8080<0,
∴一元二次方程x2+2020=0的根的情况是无实数根.
2.C　 ∵a=1,b=-4,c=3,
∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4>0,
∴一元二次方程x2-4x+3=0有两个实数根.
3.9　 Δ=(-1)2-4×2×(-1)=9.
4.解:(1)∵Δ=4+12=16>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)将原方程化为一般形式,得
5x2-4x+1=0.
∵Δ=(-4)2-4×5×1=16-20<0,
∴原方程没有实数根.
5.A　 ∵关于x的方程x2+2x-k=0没有实数根,∴Δ=22-4×1×(-k)<0,解得k<-1.故选A.
6.A　 根据题意,得Δ=(-3)2-4k>0,解得k<.
7.B
8.解:(1)根据题意,得m≠0且Δ=[-(2m-3)]2-4m(m-1)≥0,
解得m≤且m≠0.
(2)∵m为正整数,∴m=1,
∴原方程变形为x2+x=0,
解得x1=0,x2=-1.
9.D　 当k=0时,原方程是一元一次方程,有实数根;
当k≠0时,原方程是一元二次方程,根据题意,得Δ≥0,即Δ=(-6)2-4k×9≥0,解得k≤1.
故选D.
10.C　 将方程整理为一般式,得x2+x-6=0.
∵Δ=12-4×1×(-6)=25>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
11.A　 由数轴得m>0,n<0,m+n<0,∴mn<0.
∵Δ=(-mn)2-4(m+n)>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
12.C　 根据图象可得k<0,b<0,
所以b2>0,-4k>0.
因为Δ=b2-4(k-1)=b2-4k+4>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
13.2022　 ∵一元二次方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根,∴Δ=m2-4n=0,∴2m3-8mn+2022=2m(m2-4n)+2022=2022.
14.解:∵2☆a的值小于0,
∴22a+a=5a<0,解得a<0.
在方程2x2-bx+a=0中,
Δ=(-b)2-8a≥-8a>0,
∴方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根.
15.解:(1)∵Δ=k2-4×2(k-3)=k2-8k+24=(k-4)2+8>0,
∴无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)当k=5时,原方程为2x2+5x+2=0,
∴(2x+1)(x+2)=0,
∴x1=-,x2=-2.
“串”题训练
例:解:Δ=(a+b)2-4c·=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c).
∵a+b+c>0,a+b-c>0,∴Δ>0.
∴关于x的一元二次方程cx2+(a+b)x+=0有两个不相等的实数根.
变式1:D　 ∵a2+b2=c2,∴在方程ax2+cx+b=0中,Δ=(c)2-4ab=2(a2+b2-2ab)=2(a-b)2.∵(a-b)2≥0,∴2(a-b)2≥0,即Δ≥0,∴这类“勾系一元二次方程”一定有实数根.
变式2:解:∵a,b,c分别是三角形的三边长,
∴a+b≠0.
在方程(a+b)x2+2ax+a+b=0中,
Δ=(2a)2-4(a+b)2=-4b2-8ab.
∵a,b,c分别是三角形的三边长,
∴b2>0,ab>0,∴Δ=-4b2-8ab<0.
∴一元二次方程(a+b)x2+2ax+a+b=0没有实数根.