数学
化学
17.5 第1课时 一元二次方程的应用(面积、数字问题)
知识点 1 面积问题
1.图1所示的是一块长方形花园,其宽(短边)为20 m,现打算将花园扩建,要求长边保持不变,将短边扩大到与长边相等,使得扩建后的花园是正方形.若扩大后的花园面积比原来增加了100 m2,设长方形的长边为x m,则可列方程为 ( )
图1
A.x(x-20)=100 B.x(x+20)=100
C.20x=100 D.(x+20)(x-20)=100
2.(2021合肥蜀山区50中期中)张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为160平方米的长方形土地种植黑苦荞麦,为方便种植,圈出的长方形土地的长与宽应相差15米,设该长方形土地的长为x米,则可列方程为 ( )
A.x(x-15)=160 B.x(x+15)=160
C.2x+2(x-15)=160 D.2x+2(x+15)=160
3.(2021合肥蜀山区50中期中)如图1,将边长为12的正方形纸片,沿两边各剪去一个一边长为x的长方形,剩余部分的面积为64,则根据题意可列出方程为 .(方程化为一般形式)
图1
4.如图1,在一块长12 m、宽8 m的长方形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与长方形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意可列方程为 .
图1
5.如图1,利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的长方形场地,求长方形场地的长和宽.
图1
知识点 2 数字问题
6.两个连续奇数的积为255,若设其中较小的奇数为x,则可列方程为 ,这两个数分别为 .
7.(教材习题17.5T2变式)一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为5.把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数.
8.(2020合肥蜀山区期末)如图1,在一个长20 m、宽10 m的长方形草地内修建宽度相等的小路(阴影部分).若剩余草地(空白部分)的面积为171 m2,则小路的宽为 m.
图1
9.(2020安庆期末)如图1,有长为48 m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为25 m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD.
(1)当AB的长是多少米时,围成长方形花圃ABCD的面积为180 m2
(2)能围成总面积为240 m2的长方形花圃吗 说明理由.
图1
10.如图1,用同样规格的黑、白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,观察下列图形并解答问题.
图1
(1)在第a个图中,共有 块白瓷砖和 块黑瓷砖(用含a的代数式表示);
(2)若按上图的方式铺一块长方形地面共用了420块瓷砖,求此时a的值;
(3)已知白瓷砖每块6元,黑瓷砖每块8元,某工厂按如图1的方式铺设厂房地面,其中黑瓷砖的费用比白瓷砖的费用多924元,则白瓷砖和黑瓷砖各用了多少块
答案
17.5 第1课时 一元二次方程的应用(面积、数字问题)
1.A 扩建后增加的长方形长为x m,宽为(x-20)m,由题意可得x(x-20)=100.
2.A
3.x2-24x+80=0 根据题意列出方程为(12-x)2=64,化为一般形式为x2-24x+80=0.
4.(12-x)(8-x)=77
5.解:设垂直于墙的一边长为x m,
则x(58-2x)=200,解得x1=25,x2=4,
当x=25时,58-2x=8;当x=4时,58-2x=50.
∴平行于墙的一边长为8 m或50 m.
答:长方形场地的长为25 m,宽为8 m或长为50 m,宽为4 m.
6.x(x+2)=255 -17,-15或15,17
7. 数与数字之间的关系:两位数=十位数字×10+个位数字.解题的关键是正确地写出原来的两位数和对调后的两位数.
解:设原两位数的十位数字为x,则个位数字为5-x.根据题意,得
[10x+(5-x)][10(5-x)+x]=736,
整理,得x2-5x+6=0,
解方程,得x1=2,x2=3.
当x=2时,5-x=3,这个两位数为23;
当x=3时,5-x=2,这个两位数为32.
答:原来的两位数为23或32.
8.1 设小路的宽为x m.根据题意列方程(20-x)(10-x)=171,
整理,得x2-30x+29=0,
解得x1=1,x2=29(不合题意,舍去).
故小路的宽为1 m.
9.解:(1)设AB的长是x m,则BC的长是(48-3x)m.
根据题意列方程x(48-3x)=180,
解得x1=6,x2=10.
当x=6时,48-3x=30>25,不符合题意,舍去;
当x=10时,48-3x=18<25,符合题意.
答:当AB的长是10 m时,围成长方形花圃ABCD的面积为180 m2.
(2)不能.理由如下:
同(1)可得x(48-3x)=240,
整理得x2-16x+80=0,
Δ=(-16)2-4×80=-64<0,
所以此方程无解,
即不能围成总面积为240 m2的长方形花圃.
10. (1)根据第a个图形的黑瓷砖的每行有(a+1)个,每列有a个,可得黑瓷砖的数量为a(a+1).
∵图形每一横行有(a+3)块瓷砖,每一竖行有(a+2)块瓷砖,
∴瓷砖总块数为(a+2)(a+3),
∴白瓷砖块数为(a+2)(a+3)-a(a+1)=4a+6.
故答案为(4a+6),a(a+1).
解:(1)4a+6 a(a+1)
(2)由题意得(a+2)(a+3)=420,
解得a1=18,a2=-23(不合题意,舍去).
∴a的值为18.
(3)由题意得8a(a+1)-6(4a+6)=924,
解得a1=12,a2=-10(不合题意,舍去).
∴黑瓷砖的块数=a(a+1)=156,
白瓷砖的块数=4a+6=54.
答:白瓷砖和黑瓷砖分别用了54块、156块.数学
化学
17.5 第4课时 可化为一元二次方程的分式方程及应用
知识点 1 可化为一元二次方程的分式方程的解法
1.把分式方程=+3转化为一元二次方程时,方程两边需同乘以 ( )
A.3x(x+2) B.3x(x-2)
C.3(x2-4) D.x2-4
2.分式方程-=1的解为 .
知识点 2 可化为一元二次方程的分式方程的应用
3.(2020福建)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 ( )
A.3(x-1)= B.=3
C.3x-1= D.=3
4.甲、乙两辆货车分别从A,B两城同时沿高速公路向C城运送货物.已知A,C两城相距450千米,B,C两城的路程为440千米,甲车比乙车的速度快10千米/时,甲车比乙车早半小时到达C城.求两车的速度.
5.西部建设中,某工程队承包了一段72千米的铁轨的铺设任务,计划若干天完成,在铺设完一半后,增添工作设备,改进了工作方法,这样每天比原计划可多铺3千米,结果提前了2天完成任务.原计划每天铺多少千米,计划多少天完成任务
6.一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥.从运输量来估算,若租两车合运,10天可以完成任务;若单独租用乙车完成任务比单独租用甲车完成任务多用15天.
(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天
(2)已知两车合运共需租金65000元,甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元.试问:租甲、乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种租车方案中,哪一种租金最少 请说明理由.
答案
17.5 第4课时 可化为一元二次方程的分式方程及应用
1.D
2.x=-1 去分母,得4-x=x2-4x,即x2-3x-4=0,解得x1=4,x2=-1.经检验,x=4是增根,所以分式方程的解为x=-1.
3.A
4.解:设乙车的速度为x千米/时,则甲车的速度为(x+10)千米/时.
根据题意,得
+=.
整理,得x2+30x-8800=0,
解得x1=80,x2=-110(舍去).
∴x=80,
经检验,x=80是原方程的解,且符合题意.
当x=80时,x+10=90.
答:甲车的速度为90千米/时,乙车的速度为80千米/时.
5.解:设原计划每天铺x千米,则可列方程为
-=2,
整理,得x2+3x-54=0,解得x1=6,x2=-9.
经检验,x1=6,x2=-9都是所列方程的根,但由于负数不合题意,所以x=-9舍去,取x=6.
所以原计划完成任务的天数为==12.
答:原计划每天铺6千米,计划12天完成任务.
6.解:(1)设甲车单独完成任务需要x天,则乙车单独完成任务需要(x+15)天.根据题意,得
+=1,解得x1=15,x2=-10.
经检验,x1=15,x2=-10都是原方程的根,
但x2=-10<0,不合题意,应舍去,故x=15.
x+15=15+15=30(天).
答:甲车单独完成任务需要15天,乙车单独完成任务需要30天.
(2)单独租甲车租金最少.理由如下:
设甲车每天的租金为y元,则乙车每天的租金为(y-1500)元.
根据题意,得
(y+y-1500)×10=65000,解得y=4000,
y-1500=4000-1500=2500(元),
单独租甲车需4000×15=60000(元),单独租乙车需2500×30=75000(元),
∵60000<65000<75000,
∴单独租甲车租金最少.数学
化学
17.5 第2课时 一元二次方程的应用(增降率、比赛场次、握手问题)
知识点 1 增降率问题
1.近年来某县加大了对教育经费的投入,2019年投入2500万元,2021年投入3500万元.假设该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是 ( )
A.2500x2=3500
B.2500(1+x)2=3500
C.2500(1+x%)2=3500
D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3500
2.(2021襄阳)随着生产技术的进步,某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元,现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为x,下面所列方程正确的是 ( )
A.5000(1+x)2=4050
B.4050(1+x)2=5000
C.5000(1-x)2=4050
D.4050(1-x)2=5000
3.(2021合肥蜀山区168中期中)为防治雾霾,保护环境,某市掀起“爱绿护绿”热潮,经过两年时间,绿地面积增加了21%.设这两年的绿地面积的平均增长率是x,则下列方程正确的是 ( )
A.x2=1+21%
B.(1-x)2=21%
C.(1+x)2=21%
D.(1+x)2=1+21%
4.(2021合肥包河区期中)某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,则可列方程 .
5.(2021合肥庐阳区45中期中)据报道,我国的新能源汽车的发展空间巨大,使用新能源车能够清洁空气,净化环境,减少PM2.5的浓度.某市决定市区的新能源公交车由2020年的占比30%,逐步提升到2022年占比60%,假定该市市区的公交车总量不变,求每年的平均增长率.(取≈1.41)
知识点 2 比赛场次、握手问题
6.要组织一次篮球邀请赛,参赛的每两支球队之间都要比赛一场,据场地和时间等条件的限制,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,刚好完成所有比赛.设比赛组织者邀请x支球队参赛,则根据题意所列方程正确的是( )
A.x(x+1)=28 B.x(x-1)=28
C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28
7.某小组有若干人,新年大家互相发一条微信祝福,已知全组共发微信72条,则这个小组的人数为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.(2021·毕节)某校八年级组织一次篮球赛,各班均组队参赛,赛制为单循环赛制(每两班之间都赛一场),共需安排15场比赛,则八年级班级的个数为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
9.平面上有n个点(n≥2),且任意3个点不在同一条直线上,经过每两点画一条直线,一共能画28条直线,则n= .
10.(2021合肥庐阳区42中期中)由于春季气温回暖,某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折(两次打折数相同)”优惠活动,已知一件原价1000元的冬装,优惠后实际仅需490元,设该店冬装原本打x折,则有 ( )
A.490(1-2x)=1000
B.1000(1-x2)=490
C.1000·2=490
D.10001-2=490
11.(2021合肥蜀山区一模)某手机厂商一月份生产手机20万台,计划二、三月份共生产手机45万台.设二、三月份平均每月的增长率为x,根据题意列出方程为 ( )
A.20(1+x)2=45
B.20(1+x)+20(1+x)2=45
C.20(1+2x)=45
D.20+20(1+x)+20(1+x)2=45
12.(2021合肥瑶海区38中期中)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某市为响应该市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,第三个月进馆288人次.
(1)求进馆人次的月平均增长率;
(2)因条件限制,该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
13.(2021合肥蜀山区168中期中)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3120元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件
答案
17.5 第2课时 一元二次方程的应用(增降率、比赛场次、握手问题)
1.B 2.C 3.D
4.560(1-x)2=315 根据题意,可得560×(1-降价的百分率)2=315,可得方程560(1-x)2=315.
5.解:设每年的平均增长率为x.
由题意,得30%(1+x)2=60%,
解得x1=-1≈41%,x2=--1(不合题意舍去).
答:每年的平均增长率为41%.
6.B 每支球队都需要与其他球队赛(x-1)场,但两队之间只有1场比赛,所以可列方程为x(x-1)=4×7.
7.C 设这个小组的人数为x,则每人需发送(x-1)条微信.依题意,得x(x-1)=72.整理,得x2=0,解得x1=-8(不合题意,舍去),x2=9.
8.B 9.8
10.C 设该店冬装原本打x折,第一次打折后的价格为1000×,第二次打折后的价格为1000××,所以1000·2=490.
11.B 二、三月份平均每月的增长率为x.根据题意列出方程为20(1+x)+20(1+x)2=45.
12.解:(1)设进馆人次的月平均增长率为x.
根据题意,得128(1+x)2=288,
解得x1=0.5,x2=-2.5(舍去).
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
(2)能.理由:第四个月的进馆人数为288(1+50%)=432(人次).
因为432<500,
所以该市图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
13.解:(1)设该种商品每次降价的百分率为x%.
依题意,得400×(1-x%)2=324,
解得x1=10或x2=190(舍去).
答:该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100-m)件.
第一次降价后的每件商品的利润为400×(1-10%)-300=60(元).
第二次降价后每件商品的利润为324-300=24(元).
依题意,得60m+24(100-m)=36m+2400≥3120,解得m≥20.
答:第一次降价后至少要售出该种商品20件.数学
化学
17.5 第3课时 一元二次方程的应用(商品利润问题)
知识点 商品利润问题
1.某商品现在的售价是每件130元,每日的销售量是70件.经市场调查反映:若每件商品的售价每上涨1元,则每日的销售量就减少1件.已知该商品的进价是每件120元,那么该商品的定价为多少元时,每日可盈利1600元
解:设每件商品上涨x元.
(1)用含x的代数式表示:
①每件商品的销售价为 元;
②日销售量为 件.
(2)根据题意,列出相应方程为 .
(3)解这个方程,得 .
(4)130+x= .
(5)答:每件商品的定价为 元时,每日可盈利1600元.
2.某商场将进价为每件20元的玩具以每件30元的价格出售时,每天可售出300件,经调查发现,当每件玩具每涨1元时,每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润,则每件玩具应涨多少元 如果设每件玩具应涨x元,则下列说法错误的是 ( )
A.涨价后每件玩具的售价是(30+x)元
B.涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C.涨价后每天销售玩具的数量是(300-10x)件
D.可列方程为(30+x)(300-10x)=3750
3.(2021合肥庐阳区42中期中)经营一批进价为2元/件的小商品,在市场营销中发现此商品的日销售量y(件)与日销售单价x(元/件)之间的关系式为y=-2x+24,而日销售利润P(元)与日销售单价x(元/件)之间的关系式为P=y(x-2).当日销售单价为多少时,每日获得利润48元,且保证日销售量不低于10件
4.某种服装平均每天可销售20件,每件盈利44元,若每件服装每降价1元,则每天可多售出5件,设每件降价x元.
(1)根据题意,填表:
每件盈利(元) 销售量(件) 每天盈利(元)
降价前 44 20 880
降价后
(2)若每天盈利1600元,则每件应降价多少元
5.(2021菏泽)端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:
小王:该水果的进价是每千克22元.
小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克.若每千克降低3元,则每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话,解决下面所给问题:
超市每天要想获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元
6.(2021合肥瑶海区期中)某商店准备进一批季节性小家电,进价为每个40元.经市场预测,销售价为每个52元时,可售出180个,销售价每个每增加1元,销售量净减少10个;销售价每个每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个.商店若准备获利2000元.
(1)该商店应考虑涨价还是降价 请说明理由.
(2)应进货多少个 销售价为每个多少元
7.(2021烟台)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售.如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品的售价每降低5元,日销售量就增加10件.
(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售
答案
17.5 第3课时 一元二次方程的应用(商品利润问题)
1.(1)①(130+x) ②(70-x)
(2)(130+x-120)(70-x)=1600
(3)x1=x2=30 (4)160 (5)160
2.D (30+x)元表示涨价后每件玩具的售价,故A选项正确;
10x件表示涨价后每天少售出玩具的数量,故B选项正确;
(300-10x)件表示涨价后每天销售玩具的数量,故C选项正确;
可列方程(30+x-20)(300-10x)=3750,故D选项错误.
3.解:由题意,可列方程48=(-2x+24)(x-2),
整理,得x2-14x+48=0,
解得x1=6,x2=8.
当x=8时,y=-2×8+24=8<10,不符合题意舍去;
当x=6时,y=-2×6+24=12>10,符合题意.
答:当日销售单价为6元/件时,每日获得利润48元,且保证日销售量不低于10件.
4.解:(1)44-x 20+5x
(2)根据题意,得(44-x)(20+5x)=1600,
整理,得(x-4)(x-36)=0,
解得x1=4,x2=36.
答:每件应降价4元或36元.
5.解:设当这种水果每千克降低x元时,超市每天可获得销售利润3640元.由题意,得
(32)160+×120=3640.
整理,得x2-12x+27=0.
解得x1=3,x2=9.
∵要尽可能让顾客得到实惠,∴x=9,
∴售价为每千克38-9=29(元).
答:这种水果的销售价为每千克29元.
6.解:(1)该商店应考虑涨价.理由如下:
如果涨价,那么每个的利润增加,销售量减少;
如果降价,那么每个的利润减少,销售量增加.
由于受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,所以该商店应考虑涨价.
(2)设小家电的销售价为每个x(x>52)元.根据题意,得
(x-40)[180-10(x-52)]=2000.
整理,得x2-110x+3000=0,
解得x1=50(舍去),x2=60.
当x=60时,进货个数为180-10(60-52)=100(个)<180个,符合题意.
答:应进货100个,销售价为每个60元.
7.解:(1)设每件售价应定为x元,则每件的利润为(x-40)元,日销售量为20+=(140-2x)件.
依题意,得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20.整理,得x2-110x+3000=0,
解得x1=50,x2=60(舍去).
答:每件售价应定为50元.
(2)该商品需要打a折销售.
由题意,得62.5×≤50,解得a≤8.
答:该商品至少需打8折销售.
