沪科版数学八年级下册同步课时练习：18.2　勾股定理的逆定理

数学
化学
18.2　勾股定理的逆定理
知识点 1　用勾股定理的逆定理判定直角三角形
1.(2021合肥庐江县期中改编)下列数据能作为直角三角形的三边长的是 (　　)
A.6,7,8 B.1,,2
C.5,12,14 D.0.4,0.3,0.2
2.已知三角形的三边长之比为1∶1∶,则此三角形一定是 (　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3.(2021合肥庐阳区42中期中)△ABC的三边长分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则该三角形是 (　　)
A.锐角三角形
B.以c为斜边的直角三角形
C.以b为斜边的直角三角形
D.以a为斜边的直角三角形
4.如图1,以△ABC的三边为边长分别向外作正方形,它们的面积分别是S1,S2,S3.如果S1+S2=S3,那么△ABC的形状是　　　三角形.
图1
5.(2021合肥庐江县期中节选)如图1,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均为网格上的格点.
图1
(1)AB=　　　　;BC=　　　　;AC=　　　　.
(2)∠ABC=　　　　°.
知识点 2　 勾股数的认识
6.(2021合肥瑶海区38中期中)下列各组数中,是勾股数的是 (　　)
A.0.6,0.8,1 B.3,4,5
C.,, D.1,2,
7.(2020马鞍山当涂县期末)三个正整数a,b,c,如果满足a2+b2=c2,那么我们称这三个数a,b,c叫做一组勾股数.如32+42=52,则3,4,5就是一组勾股数.请写出与3,4,5不同的一组勾股数:　　　.
知识点 3　用勾股定理的逆定理进行有关计算
8.(教材习题18.2T5变式)如图1,在△ABC中,D是BC边上一点,连接AD.若AB=10,AC=17,BD=6,AD=8.
(1)求∠ADB的度数;
(2)求BC的长.
图1
9.(2020合肥包河区168中期中)(教材习题18.2T2变式)如图1,在四边形ABCD中,AB=20 cm,BC=15 cm,CD=7 cm,AD=24 cm,∠ABC=90°.
(1)求∠ADC的度数;
(2)求四边形ABCD的面积.
图1
10.(2021合肥瑶海区期中)满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是 (　　)
A.三内角之比为1∶2∶3
B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5
D.三内角之比为3∶4∶5
11.(2021常德)阅读理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即m=a2+b2,那么称m为广义勾股数.下面的四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是 (　　)
A.②④ B.①②④ C.①② D.①④
12.(2021合肥蜀山区50中期中)如图1,某港口O位于南北延伸的海岸线上,东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口O,各自沿固定方向航行,“远洋”号每小时航行12海里,“长峰”号每小时航行16海里,它们离开港口1小时后,分别到达A,B两个位置,且AB=20海里,已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行,请判断“长峰”号航行的方向,并说明理由.
图1
13.(2021合肥长丰县期中)如图1,正方形ABCD的边长为4,F是DC边的中点,E是BC上的点,且CE=BC,试说明:AF⊥EF.
图1
14.若正整数a,b,c(a观察下列两类“勾股数”:
第一类(a是奇数):(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);….
第二类(a是偶数):(6,8,10);(8,15,17);(10,24,26);….
(1)请再写出两组勾股数,每类各写一组;
(2)分别就a为奇数、a为偶数两种情形,用a表示b和c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”.
答案
18.2　勾股定理的逆定理
1.B　 62+72≠82,根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形,故A项不合题意;
12+()2=22,根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形,故B项符合题意;
122+52≠142,根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形,故C项不合题意;
0.22+0.32≠0.42,根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形,故D项不合题意.
2.D　 设三角形的三边长分别为x,x,x,则由x2+x2=(x)2,得此三角形是直角三角形,又有两边长相等,所以此三角形是等腰直角三角形.
3.D　 由题意,得a2-b2=c2,
∴b2+c2=a2.
∵此三角形的三边关系符合勾股定理的逆定理,
∴此三角形是以a为斜边的直角三角形.
4.直角　 ∵S1+S2=S3,S1=AB2,S2=BC2,S3=AC2,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.
5.(1)　2　5　(2)90
6.B　 勾股数的定义:能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数,只有B项中三个数能作为直角三角形三条边的长且都是正整数.
7.答案不唯一,如5,12,13
8.解:(1)∵在△ABD中,AB=10,AD=8,BD=6,
∴AD2+BD2=82+62=100,AB2=100,
∴AD2+BD2=AB2,
∴∠ADB=90°.
(2)在Rt△ACD中,∠ADC=90°,AC=17,AD=8,
∴CD===15,
∴BC=BD+CD=6+15=21.
9.解:(1)如图,连接AC.
∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=20 cm,BC=15 cm,
∴由勾股定理,得AC===25(cm).
∵在△ADC中,CD=7 cm,AD=24 cm,
CD2+AD2=72+242=625,AC2=625,
∴CD2+AD2=AC2,
∴∠ADC=90°.
(2)由(1)知,∠ADC=90°,
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=×20×15+×7×24=234(cm2).
10.D　 A项,根据三角形的内角和公式,求得各内角分别为30°,60°,90°,所以此三角形是直角三角形;
B项,两个较短边的平方和等于最长边的平方,符合勾股定理的逆定理,所以此三角形是直角三角形;
C项,设三角形的三边长分别为3x,4x,5x.(3x)2+(4x)2=(5x)2,符合勾股定理的逆定理,所以此三角形是直角三角形;
D项,根据三角形内角和公式,求得各内角分别为45°,60°,75°,所以此三角形不是直角三角形.
11.C　 ①∵7不能表示为两个正整数的平方和,∴7不是广义勾股数,故①正确;
②∵13=22+32,
∴13是广义勾股数,故②正确;
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数,如5和10是广义勾股数,但是它们的和不是广义勾股数,故③错误;
④设m1=a2+b2,m2=c2+d2,
则m1·m2=(a2+b2)·(c2+d2)
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd)
=(ac+bd)2+(ad-bc)2,
当ad=bc时,m1·m2不一定是广义勾股数,
∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数,故④错误,∴正确的是①②.
12.解:“长峰”号航行的方向是南偏东30°.
理由如下:如图,由题意,得OA=12,OB=16,AB=20.
∵122+162=202,即OA2+OB2=AB2,
∴△OAB是直角三角形,且∠AOB=90°.
又∵∠DOA=60°,
∴∠COB=180°-90°-60°=30°,
∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°.
13.证明:∵CE=BC,BC=4,
∴CE=1,BE=3.
∵F是DC边的中点,∴CF=DF=2.
在Rt△ABE中,∠B=90°,
由勾股定理,得AE2=BE2+AB2=32+42=25,
在Rt△ECF中,∠C=90°,
由勾股定理,得FE2=CE2+CF2=12+22=5,
在Rt△ADF中,∠D=90°,
由勾股定理,得AF2=AD2+DF2=42+22=20,
∴AE2=FE2+AF2,
∴∠AFE=90°,
即AF⊥EF.
14.解:(1)第一组(a是奇数):9,40,41(答案不唯一);
第二组(a是偶数):12,35,37(答案不唯一).
(2)当a为奇数时,b=,c=;
当a为偶数时,b=-1,c=+1.
证明:当a为奇数时,a2+b2=a2+2=2=c2,
∴(a,b,c)是“勾股数”.
或当a为偶数时,a2+b2=a2+-12=+12=c2,
∴(a,b,c)是“勾股数”.