数学
化学
19.3.1 第2课时 矩形的判定
知识点 1 用矩形的定义判定矩形
1.如图14,要使 ABCD成为矩形,需要添加的条件是 ( )
图14
A.∠A+∠B=180° B.∠B+∠C=180°
C.∠A=∠B D.∠B=∠D
2.图15是一个平行四边形活动框架的示意图,对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线的长度也在发生改变.当∠α= °时,两条对角线的长度相等.
图15
3.(教材P89练习T2变式)已知:如图16,M为 ABCD的边AD的中点,且MB=MC.求证: ABCD是矩形.
图16
知识点 2 用判定定理判定矩形
4.下列命题中正确的是 ( )
A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.三个角是直角的多边形是矩形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.两条对角线相等的平行四边形是矩形
5.对于四边形ABCD,给出下列4组条件:①∠A=∠B=∠C=∠D;②∠B=∠C=∠D;③∠A=∠B,∠C=∠D;④∠A=∠B=∠C=90°.其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有 ( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
6.(2021鸡西)如图17,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件 ,使 ABCD是矩形.
图17
7.(2021长沙)如图18, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,AB=4.
(1)求证: ABCD是矩形;
(2)求AD的长.
图18
8.(2021牡丹江)如图19,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC边的中点,请添加一个条件 ,使四边形BEFD为矩形.(填一个即可)
图19
9.(2021合肥庐江县期末)如图10,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点,则AM的最小值为 ( )
图10
A. B. C. D.
10.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
图11
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图11①),使AB=CD,EF=GH;
(2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学原理是 ;
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学原理是 .
11.(教材例3变式)已知:如图12,在△ABC中,AB=AC,D是AC的中点,F是BC的中点,直线AE∥BC交FD的延长线于点E.求证:四边形AFCE是矩形.
图12
12.如图13,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=CD;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是矩形 请证明你的结论.
图13
13.如图14,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;
(2)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.
图14
答案
19.3.1 第2课时 矩形的判定
1.C
2.90 当平行四边形活动框架的两条对角线的长度相等时,该平行四边形是矩形.∵矩形的每个内角都等于90°,
∴∠α=90°.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.
在△ABM和△DCM中,∵
∴△ABM≌△DCM(SSS),
∴∠A=∠D=90°,∴ ABCD是矩形.
4.D
5.B ①由∠A=∠B=∠C=∠D能得到四个角都是直角;②由∠B=∠C=∠D不能得到四边形ABCD是矩形;③邻角相等并不能得到四个角是直角;④由∠A=∠B=∠C=90°,能得到四边形ABCD为矩形.故选B.
6.答案不唯一,如AC=BD,OA=OB等
7.解:(1)证明:∵△AOB为等边三角形,
∴OA=OB=AB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD=BD,OA=OC=AC,
∴BD=AC,∴ ABCD是矩形.
(2)由(1)知 ABCD是矩形,BD=2OB=2AB=8,∴∠BAD=90°.
由勾股定理得AD=4.
8.答案不唯一,如∠B=90° ∵D,E,F分别是AB,BC,AC边的中点,
∴DF,EF都是△ABC的中位线,
∴DF∥BC,EF∥AB,
∴四边形BEFD为平行四边形.
∵∠B=90°,∴四边形BEFD为矩形.
9.D ∵AB=3,AC=4,BC=5,
∴AB2+AC2=BC2.
根据勾股定理的逆定理,得∠EAF=90°.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴∠PEA=∠PFA=90°,
∴四边形AEPF是矩形.
∵M是EF的中点,
∴点A,M,P三点共线,且AM=AP.
∴当AP⊥BC时,AP取得最小值.
由S△ABC=AP·BC=AB·AC,
解得AP=,∴AM=.
10.(2)平行四边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形
11.证明:∵AB=AC,F是BC的中点,
∴∠AFC=90°.
∵D是AC的中点,∴AD=CD.
∵AE∥BC,∴∠EAD=∠FCD.
在△ADE和△CDF中,
∵
∴△ADE≌△CDF,∴DE=DF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵∠AFC=90°,
∴四边形AFCE是矩形.
12.解:(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.∵E为AD的中点,∴AE=DE.
在△AFE和△DBE中,
∵
∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD.
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,∴AF=CD.
(2)当△ABC是等腰三角形,即AC=AB时,四边形ADCF是矩形.
证明:∵AF=CD,且AF∥CD,
∴四边形ADCF为平行四边形.
∵AC=AB,AD为BC边上的中线,
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,
∴四边形ADCF为矩形.
13.解:(1)∵EF交∠ACB的平分线于点E,交外角∠ACD的平分线于点F,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF.
∵EF∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
故∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,
∴OE=OC,OF=OC,
则OC=OE=OF=EF.
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,
∴∠ECF=∠OCE+∠OCF=90°.
在Rt△CEF中,
由勾股定理,得EF==10,
∴OC=EF=5.
(2)当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
∵O为AC的中点,∴OA=OC.
又∵OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
由(1)知∠ECF=90°,
∴ AECF是矩形.数学
化学
19.3.1 第1课时 矩形的性质
知识点 1 矩形内角的性质
1.如图1,一张矩形纸片,剪去一部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数为 ( )
图1
A.30° B.60° C.90° D.120°
2.将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图1所示的图形.若∠CED'=56°,则∠EAD的度数是 .
图1
3.(2021贵阳)如图1,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.
(1)求证:△ABN≌△MAD;
(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.
图1
知识点 2 矩形对角线的性质
4.如图1,若矩形ABCD的对角线AC=5,则( )
图1
A.AB=5 B.BC=5
C.CD=5 D.BD=5
5.(教材例1变式)如图1,已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4,则BC的长是 ( )
图1
A.4 B.6 C.8 D.4
6.(2021株洲)如图1所示,线段BC为等腰三角形ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O.若OD=2,则AC= .
图1
7.如图1,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
求证:BE=CF.
图1
知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质
8.(2021盐城)如图1,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的中线,若CD=2,则AB= .
图1
9.如图1,D是Rt△ABC的斜边AB的中点,AC=8,CD=8.5,那么BC= .
图1
10.(2020合肥肥东县期末)如图10,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P在边AD上从点A到点D运动,过点P作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.已知AB=3,AD=4,随着点P的运动,关于PE+PF的值,下面说法正确的是 ( )
图10
A.先增大,后减小
B.先减小,后增大
C.始终等于2.4
D.始终等于3
11.(2021南充)如图11,E是矩形ABCD的边AD上一点,F,G,H分别是BE,BC,CE的中点,AF=3,则GH的长为 .
图11
12.(教材习题19.3T2变式)如图12,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠EDC∶∠EDA=1∶2,且AC=10,求DE的长度.
图12
13.某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块三角尺的直角顶点绕着矩形ABCD(AB(1)该学习小组中一名成员发现:在图①(三角尺的一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在图③(三角尺的一直角边与OC重合)中,CN2=BN2+CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由.
(2)试探究图②中BN,CN,CM,DM这四条线段之间的关系,写出你的结论,并说明理由.
图13
答案
19.3.1 第1课时 矩形的性质
1.C
2.28° ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°.
由折叠的性质可知∠DEA=∠AED'.
由题意可得∠DED'=180°-∠CED'=180°-56°=124°,∴∠DEA=∠AED'=×124°=62°,∴∠DAE=180°-∠D-∠DEA=28°.
3.解:(1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,
∴∠BAN=∠AMD.
∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.
在△ABN和△MAD中,
∵,
∴△ABN≌△MAD.(AAS)
(2)∵△ABN≌△MAD,
∴BN=AD=2.
在Rt△ABN中,AB===2,
∴S矩形ABCD=2×2=4,S△ABN=S△MAD=×2×4=4,
∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=4-8.
4.D
5.D ∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,
∴OA=OB=OC=OD.
又∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=AB=4,
∴AC=8,
∴BC===4.
故选D.
6.4 ∵四边形ADBE是矩形,
∴AB=DE,AO=BO,DO=OE,
∴AB=DE=2OD=4.
∵AB=AC,∴AC=4.
7.证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,∴OB=OC.
∵BE⊥AC,CF⊥BD,
∴∠BEO=∠CFO=90°.
在△BOE和△COF中,
∵
∴△BOE≌△COF(AAS),
∴BE=CF.
8.4
9.15 ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴AB=2CD=17,
∴BC===15.
故答案为15.
10.C
11.3 在矩形ABCD中,∠BAD=90°.
∵F为BE的中点,AF=3,∴BE=2AF=6.
∵G,H分别为BC,EC的中点,
∴GH为△CBE的中位线,∴GH=BE=3.
12.解:∵四边形ABCD是矩形,AC=10,
∴∠ADC=90°,OA=OC=OB=OD=AC=5.
∵∠EDC∶∠EDA=1∶2,∠EDC+∠EDA=90°,∴∠EDC=30°.
∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,
∴∠OCD=90°-∠EDC=60°.
又∵OC=OD,∴△OCD是等边三角形,
∴CD=OC=5,∴CE=CD=,
∴DE===.
13.解:(1)答案不唯一,如选图①中的结论说明理由如下:
如图①,连接DN.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,OB=OD.
∵∠DON=90°,
∴ON垂直平分BD,∴BN=DN.
∵∠BCD=90°,∴DN2=CD2+CN2,
∴BN2=CD2+CN2.
(2)BN2+DM2=CM2+CN2.理由:
如图②,延长NO交AD于点P,连接PM,MN.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠BCD=90°,OD=OB,AD∥BC,
∴∠DPO=∠BNO,∠PDO=∠NBO.
在△BON和△DOP中,
∵
∴△BON≌△DOP(AAS),
∴ON=OP,BN=DP.
又∵∠MON=90°,
∴PM=MN.
∵∠ADC=∠BCD=90°,
∴PM2=DP2+DM2,MN2=CM2+CN2,
∴DP2+DM2=CM2+CN2,
∴BN2+DM2=CM2+CN2.
