数学
化学
19.3.2 第1课时 菱形的性质
知识点 1 菱形边的性质
1.边长为3 cm的菱形的周长是 ( )
A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm
2.如图15,菱形ABCD的周长是4 cm,∠ABC=60°,那么这个菱形的对角线AC的长是 ( )
图15
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
3.(2021菏泽)如图16,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CB上,且∠ADM=∠CDN,求证:BM=BN.
图16
知识点 2 菱形对角线的性质
4.(教材例6变式)如图17,在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=10,则AB的长为 ( )
图17
A.3 B.6 C. D.2
5.(2021贵阳)如图18,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的对角线的交点坐标是O(0,0),点B的坐标是(0,1),且BC=,则点A的坐标是 .
图18
6.(2021山西)如图19,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=8,AC=6,OE∥AB,交BC于点E,则OE的长为 .
图19
7.如图10,在菱形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,E是边CD的中点,点F在BC延长线上,且CF=CE,连接OE,EF.
求证:EF=OC.
图10
知识点 3 菱形的面积问题
8.(2021柳州)如图11,在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=10,则△AOD的面积为 ( )
图11
A.9 B.10 C.11 D.12
9.如图12,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,BO=4,S菱形ABCD=24,则AH= .
图12
10.(2021烟台)如图13,在直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点B的坐标为(-1,0),∠BCD=120°,则点D的坐标为 ( )
图13
A.(2,2) B.(,2)
C.(3,) D.(2,)
11.(2021合肥蜀山区期末)如图14,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,BC的垂直平分线EF分别交BC,AC于点E,F,连接DF.若∠BCD=70°,则∠ADF的度数是 ( )
图14
A.60° B.75° C.80° D.110°
12.如图15所示,在菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC交CB的延长线于点F,分别交AC,AB于点M,P.
求证:AB与EF互相平分.
图15
13.已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图16①,当E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图②,当E是线段CB上任意一点时(点E不与点B,C重合),求证:BE=CF;
(3)如图③,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求CF的长.
图16
答案
19.3.2 第1课时 菱形的性质
1.C
2.A ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC.
∵菱形ABCD的周长是4 cm,
∴AB=BC=AC=1 cm.故选A.
3.证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=CD=AB=BC,∠A=∠C.
在△AMD和△CND中,∵
∴△AMD≌△CND(ASA).
∴AM=CN,
∴AB-AM=BC-CN,即BM=BN.
4.C
5.(2,0) ∵四边形ABCD是菱形,∴∠BOC=90°,OC=OA.
∵点B的坐标是(0,1),∴OB=1.
在Rt△BOC中,BC=,由勾股定理得OC=2,
∴OA=2,
∴点A的坐标是(2,0).
6. ∵在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC=AC=3,OB=BD=4,AC⊥BD.
∵OE∥AB,∴BE=CE,
∴OE为△ABC的中位线,∴OE=AB.
在Rt△ABO中,由勾股定理,得
AB===5,
∴OE=.
7.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OD=OB,∴∠DOC=90°.
∵E是CD的中点,
∴OE=DE=EC,
∴OE是△BDC的中位线,
∴OE∥BF.
∵CE=CF,∴OE=CF,
∴四边形OEFC是平行四边形,
∴EF=OC.
8.B ∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO.
∴∠AOD=90°.
∵在菱形ABCD中,对角线AC=8,BD=10,
∴OA=AC=4,OD=BD=5.
∴△AOD的面积为×4×5=10.
9. ∵四边形ABCD是菱形,
∴BO=DO=4,AO=CO,AC⊥BD,∴BD=8.
∵S菱形ABCD=AC·BD=24,∴AC=6,
∴OC=AC=3,∴BC==5.
∵S菱形ABCD=BC·AH=24,∴AH=.
10.D
11.B 连接BF,如图所示.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DCF=∠BCF=∠BCD=35°,AC垂直平分BD,AD∥BC,∴BF=DF.
∵EF是BC的垂直平分线,
∴BF=CF,∴DF=CF,
∴∠CDF=∠DCF=35°.
∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴∠ADC=180°-70°=110°,
∴∠ADF=110°-35°=75°.
12. 证四边形AEBF是平行四边形即可.
证明:如图,连接AF,BE,BD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
AC⊥BD.
又∵EF⊥AC,∴EF∥BD.
又∵DE∥BF,
∴四边形EDBF是平行四边形,∴DE=BF.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,∴AE=BF.
又∵AE∥BF,
∴四边形AEBF是平行四边形,
∴AB与EF互相平分.
13.解:(1)AE=EF=AF.
(2)证明:连接AC,如图①.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AB=BC.
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°=∠EAF.
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC,
∠CAF=∠EAF-∠EAC,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB∥CD,
∴∠ACF=∠BAC=60°,∴∠ABE=∠ACF.
在△BAE和△CAF中,∵
∴△BAE≌△CAF,∴BE=CF.
(3)如图②,过点A作AG⊥BC于点G.
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°.
在Rt△AGB中,∵∠ABC=60°,
∴∠BAG=30°.
∵AB=4,∴BG=2,AG=2.
在Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴EG=AG=2,
∴BE=EG-BG=2-2.
同(2)可得△BAE≌△CAF,
∴CF=BE=2-2.数学
化学
19.3.2 第2课时 菱形的判定
知识点 1 用菱形的定义判定菱形
1.已知 ABCD,下列条件中,能判定 ABCD为菱形的是 ( )
A.∠A=∠B B.∠A=∠C
C.BC=CD D.AC=BD
2.(2020恩施州)如图17,AE∥BF,BD平分∠ABC交AE于点D,点C在BF上,且BC=AB,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形.
图17
知识点 2 用判定定理1判定菱形
3.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形,作图痕迹如图18所示,能得到四边形ABCD是菱形的依据是 .
图18
4.如图19,AC=8,分别以点A,C为圆心,5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D,依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)求BD的长.
图19
知识点 3 用判定定理2判定菱形
5.(2020合肥蜀山区期末)如图10,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是 ( )
图10
A.AB=CD B.AB⊥BC
C.AC=BD D.AC⊥BD
6.(教材例6变式)如图11, ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,AB=,AO=2,OB=1.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)求△ABD的周长.
图11
7.(2021合肥庐阳区45中期末)两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图12所示的方式交叉叠放在一起,AB=AF,AE=BC.若AB=2,BC=6,则图中重叠(阴影)部分的面积为( )
图12
A. B.2
C. D.2
8.(2021合肥瑶海区期末)如图13,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD于点O,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,且BC=CE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若OD=DE,OC=1,求菱形ABCD的周长.
图13
9.如图14,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:AE=DF.
(2)四边形AEFD能成为菱形吗 如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由.
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形
图14
答案
19.3.2 第2课时 菱形的判定
1.C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,所以当 ABCD满足BC=CD时是菱形.
2.证明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠ABD,
∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD.
∵AB=BC,∴AD=BC.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵AB=AD,
∴ ABCD为菱形.
3.四边都相等的四边形是菱形
4.解:(1)四边形ABCD为菱形.
理由:由作法得AB=AD=CB=CD=5,
∴四边形ABCD为菱形.
(2)∵四边形ABCD为菱形,AC=8,
∴OA=OC=4,OB=OD,AC⊥BD.
在Rt△AOB中,OB===3,∴BD=2OB=6.
5.D ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,
∴当AB=CD时,四边形ABCD还是平行四边形,故选项A不符合题意;
∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,故选项B不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,故选项C不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,故选项D符合题意.
6.解:(1)证明:∵AB=,AO=2,OB=1,
∴AO2+OB2=AB2,
∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°,
∴AC⊥BD.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB=,BD=2OB=2,
∴△ABD的周长=++2=2+2.
7.C 设BC交AE于点G,AD交CF于点H.
∵矩形ABCD、矩形AECF是全等的,
∴AB=CE,∠B=∠E=90°,AD∥BC,AE∥CF,
∴四边形AGCH是平行四边形.
在△ABG和△CEG中,∵,
∴△ABG≌△CEG(AAS),
∴AG=CG,
∴四边形AGCH是菱形.
设AG=CG=x,则BG=BC-CG=6-x.
在Rt△ABG中,由勾股定理,得22+(6-x)2=x2,解得x=,∴CG=,
∴菱形AGCH的面积=CG·AB=×2=.
8.解:(1)证明:∵AD∥BE,DE∥AC,
∴四边形ACED是平行四边形.
∴AD=CE.
又∵BC=CE,∴AD=BC.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)由(1)知四边形ACED为平行四边形,四边形ABCD为菱形,
∴AC=DE,OA=OC=1,则AC=DE=2,
∴OD=DE=2.
∵AC⊥BD,∴∠COD=90°.
在Rt△COD中,由勾股定理,得
CD===,
∴菱形ABCD的周长为4.
9.解:(1)证明:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t.
又∵AE=t,∴AE=DF.
(2)能.
∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.
又∵AE=DF,
∴四边形AEFD为平行四边形.
在Rt△ABC中,∵∠C=30°,∴AB=AC.
由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,
即AB2+(5)2=(2AB)2.
解得AB=5(负值已舍去),
∴AC=2AB=10,
则AD=AC-DC=10-2t.
若使 AEFD为菱形,则需AE=AD,
即t=10-2t,解得t=.
故当t=时,四边形AEFD为菱形.
(3)①当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,∴∠AED=∠BED=90°,DE∥BC,
∴∠ADE=∠C=30°,
∴AD=2AE,即10-2t=2t,解得t=.
②当∠DEF=90°时,由(2)知四边形AEFD为平行四边形,∴EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=90°-∠C=60°,
∴∠AED=90°-∠A=30°,
∴AD=AE,
即10-2t=t,解得t=4.
③当∠EFD=90°时,此种情况不存在.
综上所述,当t的值为或4时,△DEF为直角三角形.
