数学
化学
19.3.3 第1课时 正方形的性质
知识点 1 正方形边、角的性质
1.若正方形的周长为40,则其对角线长为 ( )
A.100 B.20 C.10 D.10
2.如图15所示,在正方形ABCD中,E是AC上的一点,且AE=AB,则∠EBC的度数是 ( )
图15
A.45° B.30°
C.22.5° D.20°
3.(2020自贡)如图16,在正方形ABCD中,点E在BC边的延长线上,点F在CD边的延长线上,且CE=DF,连接AE和BF相交于点M.
求证:AE=BF.
图16
知识点 2 正方形对角线的性质
4.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线相等且互相平分
5.如图17,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰三角形有 ( )
图17
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
6.如图18,正方形ABCD的顶点均在坐标轴上,且边长为,则点A的坐标为 ,点C的坐标为 .
图18
7.(2021湖北)如图19,在正方形ABCD中,AB=4,E为对角线AC上不与A,C重合的一个动点,过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥BC于点G,连接DE,FG.有下列结论:①DE=FG;②DE⊥FG;③∠BFG=∠ADE;④FG的最小值为3.其中正确的结论有 ( )
图19
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图10,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是 .
图10
9.如图11所示,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD的延长线上一点,且DF=BE,连接CE,CF.
(1)求证:∠BCE=∠DCF;
(2)若点G在AD上,且∠ECG=45°,连接GE,求证:GE=BE+DG.
图11
10.如图12,正方形ABCD的对角线交于点O,E,F分别是BO,CO的中点.
求证:(1)AE=BF;
(2)AE⊥BF.
图12
11.如图13所示,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第2个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第3个正方形AEGH……如此下去,第n个正方形的边长为 .
图13
12.在数学活动课中,小辉将边长分别为和3的两个正方形放置在直线l上,如图14①,他连接AD,CF,经测量发现AD=CF.
(1)他将正方形ODEF绕点O逆时针旋转一定的角度,如图②,试判断AD与CF是否还相等,并说明理由;
(2)他将正方形ODEF绕点O逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图③,请你求出CF的长.
图14
答案
19.3.3 第1课时 正方形的性质
1.C
2.C ∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAC=45°.
∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB=67.5°.
∵∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠EBC=22.5°.
故选C.
3.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°.
又∵CE=DF,
∴BE=CF.
在△AEB与△BFC中,
∵,
∴△AEB≌△BFC(SAS),
∴AE=BF.
4.C 5.C
6.(0,1) (0,-1)
7.C ①连接BE,交FG于点O,延长DE交FG于点M,交AB于点H,如图.
∵EF⊥AB,EG⊥BC,
∴∠EFB=∠EGB=90°.
又∵∠ABC=90°,
∴四边形EFBG为矩形.
∴FG=BE,OB=OF=OE=OG.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=CD,∠BAC=∠DAC=45°.
在△ABE和△ADE中,
∵
∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=DE.
∴DE=FG.
∴①正确.
②∵△ABE≌△ADE,
∴∠ABE=∠ADE.
由①知OB=OF,
∴∠OFB=∠ABE,
∴∠OFB=∠ADE.
∵∠BAD=90°,
∴∠ADE+∠AHD=90°,
∴∠OFB+∠AHD=90°,
∴∠FMH=90°,
∴DE⊥FG.
∴②正确.
③由②知∠OFB=∠ADE,
即∠BFG=∠ADE.
∴③正确.
④∵E为AC上的一动点,
∴根据垂线段最短,可知当DE⊥AC时,DE最小.
∵AD=CD=4,∠ADC=90°.
∴AC==4.
∴DE=AC=2.
由①知FG=DE,
∴FG的最小值为2.
∴④错误.
综上,正确的结论为①②③.
8.2 如图,连接O1D,O1C,很容易证得△O1DA≌△O1CB,所以四边形O1ADB的面积就等于△O1DC的面积,即×2×2=1;同理另一阴影部分的面积也为1,所以题目中的阴影部分的面积是1×2=2.
9.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠B=∠ADC=90°,
∴∠CDF=90°,∴∠B=∠CDF.
又∵BE=DF,
∴△BCE≌△DCF(SAS),
∴∠BCE=∠DCF.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°.
∵∠ECG=45°,
∴∠DCG+∠BCE=45°.
∵∠BCE=∠DCF,
∴∠FCG=∠DCG+∠DCF=45°=∠ECG.
由(1)知△BCE≌△DCF,
∴CE=CF.
在△GCE和△GCF中,
∵
∴△GCE≌△GCF(SAS),∴GE=GF.
∵GF=DF+DG,BE=DF,
∴GE=BE+DG.
10.证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AO=BO=CO,AC⊥BD,
∴∠AOE=∠BOF=90°.
∵E,F分别是BO,CO的中点,∴OE=OF.
在△AOE和△BOF中,
∵
∴△AOE≌△BOF(SAS),
∴AE=BF.
(2)延长AE交BF于点M.由(1)知△AOE≌△BOF,∴∠OAE=∠OBF,而∠BFO+∠OBF=90°,∴∠OAE+∠BFO=90°,∴AM⊥BF,即AE⊥BF.
11.()n-1 ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=1,∠B=90°,∴AC2=12+12=2,
∴AC=;同理可求AE=()2,AG=()3,…,∴第n个正方形的边长为()n-1.
12.解:(1)AD=CF.
理由:∵四边形ABCO和四边形ODEF均是正方形,
∴AO=CO,OD=OF,∠AOC=∠DOF=90°,
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD,
即∠AOD=∠COF.
在△AOD和△COF中,∵
∴△AOD≌△COF(SAS),∴AD=CF.
(2)与(1)同理可求出CF=AD.
如图,连接DF交OE于点G,
则DF⊥OE,DG=OG=OE.
∵正方形ODEF的边长为,
∴OE==2,
∴DG=OG=OE=×2=1,
则AG=AO+OG=3+1=4.
在Rt△ADG中,AD===,
∴CF=AD=.数学
化学
19.3.3 第2课时 正方形的判定
知识点 1 用“一个角是直角的菱形是正方形”判定
1.如图15,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件 ,使四边形ABCD是正方形.(填一个即可)
图15
2.如图16,在菱形ABCD中,E是对角线BD上的一点,且AB=BE,且∠ABE=2∠DAE.
求证:四边形ABCD是正方形.
图16
知识点 2 用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定
3.如图17,在矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( )
图17
A.6 cm B.4 cm C.2 cm D.1 cm
4.如图18,等边三角形AEF的顶点E,F分别在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形.
图18
知识点 3 特殊平行四边形的判定综合
5.(2020襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形,AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是 ( )
A.OA=OC,OB=OD
B.当AB=CD时,四边形ABCD是菱形
C.当∠ABC=90°时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形
6.(2020蚌埠期末)如图19,在 ABCD中,AB=AD,要使四边形ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是 .(只写出一个即可)
图19
7.已知:如图10,在菱形ABCD中,E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形 请说明理由.
图10
8.如图11,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,BE=CE=AD.
(1)求证:四边形AECD是矩形;
(2)当△ABC是什么类型的三角形时,四边形AECD是正方形 请说明理由.
图11
9.如图12,有4个动点P,Q,E,F分别从正方形ABCD的4个顶点A,B,C,D同时出发,沿着AB,BC,CD,DA以同样的速度分别向终点B,C,D,A移动.
(1)判断四边形PQEF的形状;
(2)PE是否总经过某一定点 请判断并说明理由;
(3)若已知正方形ABCD的面积为S,则四边形PQEF的顶点位于何处时,其面积最小、最大 各是多少
图12
答案
19.3.3 第2课时 正方形的判定
1.答案不唯一,如∠BAD=90°
2.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴∠ABE=∠ADE=2∠DAE,
∴∠AEB=∠ADE+∠DAE=3∠DAE.
∵AB=BE,
∴∠BAE=∠AEB=3∠DAE,
∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=4∠DAE.
∵∠ABE+∠ADE+∠BAD=180°,
∴2∠DAE+2∠DAE+4∠DAE=180°,
∴4∠DAE=90°,
∴∠BAD=90°.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴四边形ABCD是正方形.
3.C ∵沿AE对折后,点B落在边AD上的点B1处,∴∠AB1E=∠B=90°,AB1=AB.
又∵∠BAD=90°,
∴四边形ABEB1是正方形,
∴BE=AB=6 cm,
则CE=BC-BE=8-6=2(cm).
故选C.
4.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠C=90°.
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°.
∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°,
∴△AEB≌△AFD(AAS),∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形.
5.B A项,根据平行四边形的性质得到OA=OC,OB=OD,该选项正确;
B项,当AB=CD时,四边形ABCD还是平行四边形,该选项错误;
C项,根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以判断该选项正确;
D项,当AC=BD且AC⊥BD时,根据对角线相等可判定 ABCD是矩形,根据对角线互相垂直可判定矩形ABCD是菱形,故四边形ABCD是正方形,该选项正确.
故选B.
6.答案不唯一,如AC=BD
7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD.
∵E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,
∴AE=BE=DF=AF.
在△BCE和△DCF中,∵
∴△BCE≌△DCF(SAS).
(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形.
理由如下:
由(1)得AE=AF,由题意知OE,OF分别为△ABC,△ACD的中位线,
∴OE∥BC,OE=BC=AF,OF=CD=AE,
∴AE=AF=OF=OE,
∴四边形AEOF是菱形.
∵AB⊥BC,OE∥BC,
∴OE⊥AB,
∴∠AEO=90°,
故四边形AEOF是正方形.
8.解:(1)证明:∵在四边形AECD中,AD∥CE且AD=CE,
∴四边形AECD是平行四边形.
∵AB=AC,BE=CE,
∴AE⊥BC,即∠AEC=90°,
∴四边形AECD是矩形.
(2)当△ABC是等腰直角三角形时,四边形AECD是正方形.
理由:∵△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,BE=CE,
∴∠EAC=∠EAB=∠ACB=45°,
∴AE=CE.
又∵四边形AECD是矩形,
∴四边形AECD是正方形.
9.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AP=BQ=CE=DF,
∴PB=QC=ED=FA,
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF,
∴FP=PQ=QE=EF,∠APF=∠BQP,
∴四边形PQEF是菱形.
∵∠B=90°,
∴∠BQP+∠BPQ=90°,
∴∠APF+∠BPQ=90°,
则∠FPQ=90°,
∴四边形PQEF为正方形.
(2)是.理由:如图,连接PE,AC,两线交于点O,连接PC,AE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,即AP∥CE.
又∵AP=CE,
∴四边形APCE为平行四边形,
∴O为对角线AC的中点,
故PE总经过AC的中点.
(3)由(2)知正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的,
故当OP⊥AB时,四边形PQEF的面积最小,等于正方形ABCD面积的一半,为;
当四边形PQEF的顶点与正方形ABCD的顶点重合时,四边形PQEF的面积最大,等于正方形ABCD的面积,为S.
