数学
化学
19.2 第4课时 平行四边形的判定(2)
知识点 1 用判定定理2判定平行四边形
1.如图16,在四边形ABCD中,AB=6 cm,BC=5 cm,CD=6 cm,当AD= cm时,四边形ABCD为平行四边形.
图16
2.如图17,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧,再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD为 四边形.
图17
3.如图18,在四边形ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,△ADE≌△CBF.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
图18
知识点 2 用判定定理3判定平行四边形
4.如图19所示,木匠将两根木条的中点钉在一起,则得到的虚线四边形是 ,理由是 .
图19
5.(教材例5变式)如图10,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OB,OD的中点.判断四边形AECF的形状,并说明理由.
图10
6.(2021宿迁)在①AE=CF;②OE=OF;③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上,并完成证明过程.
如图11,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上, (填写序号).
求证:BE=DF.
图11
7.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有 ( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
8.如果一个四边形的边长依次是a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,那么这个四边形是 .
9.如图12所示,在 ABCD中,E是AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F.
(1)求证:△ABE≌△DFE;
(2)连接BD,AF,试判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论.
图12
10.如图13,已知△ABC为等边三角形,动点P在△ABC内,以PB,PC为边向外作等边三角形PBD和等边三角形PCE.求证:四边形PEAD是平行四边形.
图13
11.如图14①,在 ABCD中,O是对角线AC的中点,EF过点O,分别与AD,BC相交于点E,F.GH过点O,分别与AB,CD相交于点G,H.连接EG,FG,FH,EH.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)如图②,若EF∥AB,GH∥BC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形.
图14
答案
19.2 第4课时 平行四边形的判定(2)
1.5 2.平行
3.证明:∵△ADE≌△CBF,
∴AD=BC,AE=CF.
∵E,F分别为边AB,CD的中点,
∴AB=2AE,CD=2CF,
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5.解:四边形AECF是平行四边形.
理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OB,OD的中点,∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
6.解:答案不唯一.如:②
证明:如图,连接DE,BF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO.
又∵OE=OF,
∴四边形BEDF为平行四边形,
∴BE=DF.
7.B ①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形;
③④组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形;
①③组合可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形;
①④组合可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形.
故选B.
8.平行四边形 由a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,得a2+c2-2ac+b2+d2-2bd=0,即(a-c)2+(b-d)2=0,所以a=c,b=d.根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知这个四边形是平行四边形.
9. 由四边形ABCD是平行四边形可知AB∥CD,得∠A=∠EDF,∠ABE=∠F,再由AE=DE,可证△ABE≌△DFE,进而可知BE=FE,由对角线互相平分可判定四边形ABDF为平行四边形.
解:(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,即AB∥DF,
∴∠BAE=∠FDE,∠ABE=∠F.
∵E是AD的中点,∴AE=DE.
在△ABE和△DFE中,
∵
∴△ABE≌△DFE(AAS).
(2)四边形ABDF为平行四边形.
证明:由(1)可知△ABE≌△DFE,
∴BE=FE.
又∵AE=DE,
∴四边形ABDF为平行四边形.
10.证明:∵△ABC,△PBD,△PCE都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,BD=BP=DP,CP=CE=EP,∠ABC=∠DBP=60°,∠ACB=∠ECP=60°,
∴∠BCP=∠ACE,∠DBA=∠PBC.
在△DBA和△PBC中,
∵
∴△DBA≌△PBC(SAS),
∴AD=CP,∴AD=EP.
同理,△BCP≌△ACE,
∴BP=AE,∴DP=AE,
∴四边形PEAD是平行四边形.
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.
∵O是AC的中点,∴OA=OC.
在△OAE和△OCF中,
∵
∴△OAE≌△OCF(ASA),∴OE=OF.
同理可得OG=OH,
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形为 GBCH, ABFE, EFCD, EGFH.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD.
又∵EF∥AB,GH∥BC,
∴四边形AGHD,GBCH,ABFE,EFCD均为平行四边形.
∵EF过点O,GH过点O,
根据(1)可得四边形EGFH是平行四边形.
可推得 GBCH, ABFE, EFCD, EGFH, AGHD的面积均等于 ABCD面积的一半,
∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形为 GBCH, ABFE, EFCD, EGFH.数学
化学
19.2 第1课时 平行四边形边和角的性质
知识点 1 平行四边形的概念
1.如图1,分别过△ABC的3个顶点作对边的平行线,这些平行线两两相交于点D,E,F,则图中平行四边形的个数是 ( )
图1
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点 2 平行四边形边的性质
2.如图1,已知在 ABCD中,AB=3,AD=6,则它的周长为 ( )
图1
A.9 B.12 C.15 D.18
3.(教材例1变式)如图1,在 ABCD中,AD=6,AB=4,DE平分∠ADC交BC于点E,则BE的长是( )
图1
A.2 B.3 C.4 D.5
4.(2020淄博)已知:如图1,E是 ABCD的边BC延长线上的一点,且CE=BC,连接AC,DE.
求证:△ABC≌△DCE.
图1
知识点 3 平行四边形角的性质
5.(2021株洲)如图1所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,若∠DCE=132°,则∠A的度数为( )
图1
A.38° B.48° C.58° D.66°
6.(2020合肥蜀山区期末)如图1,在 ABCD中,∠C=100°,BE平分∠ABC交AD于点E,则∠AEB的度数是 ( )
图1
A.30° B.40° C.50° D.60°
7.已知:如图1,在 ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点.求证:BE=DF.
图1
知识点 4 两平行线间的线段
8.如图1,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点E,FG⊥l2于点G,则下列说法错误的是( )
图1
A.AB=CD
B.CE=FG
C.A,B两点间的距离就是线段AB的长度
D.直线l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
9.(教材练习T3变式)如图1,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线交CD于点E,BE⊥AE,下列说法不正确的是 ( )
图1
A.AD=DE B.CE=DE
C.BE平分∠ABC D.BC=BE
10.如图10,若 ABCD的周长为36 cm,过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4 cm,DF=5 cm,则 ABCD的面积为 cm2.
图10
11.如图11,在 ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD边上的点F处.若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则CF的长为 .
图11
12.(2020安徽模拟)已知:如图12,在 ABCD中,点M在边AD上,且AM=DM,CM,BA的延长线相交于点E.
(1)求证:AE=AB;
(2)如果BM平分∠ABC,求证:BM⊥CE.
图12
13.(2021绍兴)问题:如图13,在 ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.
答案:EF=2.
探究:(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长;
②当点E与点C重合时,求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,求的值.
图13
答案
19.2 第1课时 平行四边形边和角的性质
1.C 根据平行四边形的定义可知,四边形ABCD,四边形ACBE,四边形ABFC均是平行四边形.故选C.
2.D ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=3,AD=BC=6,
∴平行四边形的周长为2(AB+AD)=2×9=18.
3.A ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=6,CD=AB=4,AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC.
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∴∠CDE=∠DEC,∴EC=CD=4,
∴BE=BC-EC=2.
故选A.
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠B=∠DCE.
在△ABC和△DCE中,∵,
∴△ABC≌△DCE.
5.B ∵∠DCE=132°,
∴∠DCB=180°-∠DCE=180°-132°=48°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠DCB=48°.
6.B ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠A=∠C=100°,
∴∠AEB=∠CBE.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∴∠AEB=∠ABE=×(180°-100°)=40°.
故选B.
7.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C.
∵E,F分别是边AD,BC的中点,
∴AE=AD,CF=BC,∴AE=CF.
在△ABE和△CDF中,∵
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF.
8.D 由“夹在两条平行线之间的平行线段相等”可知A项正确;由“两条平行线之间的距离处处相等”可知B项正确;由两点间距离的定义可知C项正确.故选D.
9.D
10.40 ∵ ABCD的周长为36 cm,
∴AB+BC=18 cm①.
∵过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4 cm,DF=5 cm,∴4AB=5BC②.
由①②得AB=10 cm,BC=8 cm,
∴ ABCD的面积为AB·DE=10×4=40(cm2).
11.7 由折叠的性质可得EF=AE,BF=AB,
∴ ABCD的周长=DF+FC+CB+BA+AE+DE=△FDE的周长+△FCB的周长=8+22=30.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB+BC=15.
∵△FCB的周长=CF+BC+BF=CF+BC+AB=22,即CF+15=22,∴CF=7.
故答案为7.
12.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,∴∠E=∠DCM.
在△AEM和△DCM中,
∵
∴△AEM≌△DCM(AAS),
∴AE=DC,∴AE=AB.
(2)∵BM平分∠ABC,
∴∠ABM=∠CBM.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠CBM=∠AMB,∴∠ABM=∠AMB,
∴AB=AM.
又∵AB=AE,AM=DM,
∴BE=AD,∴BE=BC.
又∵BM平分∠ABC,∴BM⊥CE.
13.解:(1)①如图(a)所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD,
∴∠DEA=∠BAE.
∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE,
∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD=5.
同理可得BC=CF=5.
∵点E与点F重合,
∴AB=CD=DE+CF=10.
②如图(b)所示.
由(1)知DE=AD=5,
∵点E与点C重合,
∴DE=DC=5.
由(1)知CF=BC=5,
∴点F与点D重合,
∴EF=DC=5.
(2)分三种情况:
如图(c)所示.
由(1)知AD=DE.
∵点C,D,E,F相邻两点间的距离相等,
∴AD=DE=EF=CF,
∴=.
如图(d)所示.
由(1)知AD=DE=CF.
∵DF=FE=CE,
∴=.
如图(e)所示.
由(1)知AD=DE=CF,
∵DF=DC=CE,
∴=2.
综上所述,的值为或或2.数学
化学
19.2 第3课时 平行四边形的判定(1)
知识点 1 用平行四边形的定义判定平行四边形
1.如图16,在四边形ABCD中,AD∥BC,要判别四边形ABCD是平行四边形,还需满足条件 ( )
图16
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠A=180°
C.∠A=∠D D.∠A+∠D=180°
2.如图17,在 ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,则图中的平行四边形共有 个.
图17
3.(2020陕西)如图18,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.
图18
知识点 2 用判定定理1判定平行四边形
4.如图19,在 ABCD中,CE=DF,则四边形ABEF是 形.
图19
5.如图10,将线段AB沿箭头方向平移得到线段CD,则四边形ABDC是平行四边形.理由: .
图10
6.若在四边形ABCD中,AD=BC,BD为对角线,∠ADB=∠CBD,则AB与CD的关系为 .
7.(2021岳阳)如图11,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是 ;
(2)添加条件后,证明四边形AECF为平行四边形.
图11
8.如图12,在平面直角坐标系中,点A,B,D的坐标分别为(-2,3),(-4,-1),(3,3),若要在第四象限内找到一点C,使四边形ABCD是平行四边形,则点C的坐标是( )
图12
A.(2,-1) B.(1,-2)
C.(1,-1) D.(2,-2)
9.如图13,在四边形ABCD中,AD∥BC,延长BC到点E,使CE=BC,连接AE交CD于点F,F是CD的中点.
求证:(1)△ADF≌△ECF;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
图13
10.如图14,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=15 cm,点P自点A向点D以1 cm/s的速度运动,到点D即停止.点Q自点C向点B以2 cm/s的速度运动,到点B即停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t s.
(1)用含t的代数式表示:
AP= cm;DP= cm;BQ= cm;CQ= cm.
(2)当t为何值时,四边形APQB是平行四边形
(3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形
图14
11.如图15所示,在 ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别在CD,AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB.
(1)求证:四边形AFCE为平行四边形.
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB=60°”,上述结论还成立吗 若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
图15
答案
19.2 第3课时 平行四边形的判定(1)
1.D 因为∠A+∠D=180°,所以AB∥CD.又因为AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形.
2.9
3.证明:∵DE=DC,∴∠DEC=∠C.
∵∠B=∠C,∴∠B=∠DEC,∴AB∥DE.
又∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形,
∴AD=BE.
4.平行四边
5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6.平行且相等
7.解:答案不唯一.(1)AE=CF
(2)证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AE∥CF.
又∵AE=CF,∴四边形AECF为平行四边形.
8.C
9.证明:(1)∵AD∥BC,
∴∠DAF=∠E.
∵F是CD的中点,∴DF=CF.
在△ADF与△ECF中,∵
∴△ADF≌△ECF(AAS).
(2)∵△ADF≌△ECF,∴AD=EC.
∵CE=BC,∴AD=BC.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
10.解:(1)t (12-t) (15-2t) 2t
(2)∵AD∥BC,
∴当AP=BQ时,四边形APQB是平行四边形,即t=15-2t,解得t=5,
∴当t=5时,四边形APQB是平行四边形.
(3)∵AD∥BC,∴当PD=QC时,四边形PDCQ是平行四边形.
即12-t=2t,解得t=4,
∴当t=4时,四边形PDCQ是平行四边形.
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,DC=AB,DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°,∴∠ADE=∠CBF=60°.
又∵AE=AD,CF=CB,
∴△AED,△CFB均为等边三角形.
∵AD=BC,
∴ED=BF,
∴ED+DC=BF+AB,
即EC=AF.
又∵DC∥AB,
∴四边形AFCE为平行四边形.
(2)上述结论还成立.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,AD=BC,∠DCB=∠DAB,DC=AB,
∴∠ADE=∠DAB,∠DCB=∠CBF,
∴∠ADE=∠CBF.
∵AE=AD,CF=CB,
∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF,
∴∠AED=∠CFB.
在△ADE和△CBF中,
∵
∴△ADE≌△CBF(AAS),
∴ED=FB.
又∵DC=AB,
∴ED+DC=FB+AB,
即EC=FA.
又∵DC∥AB,
∴四边形AFCE为平行四边形.数学
化学
19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质
知识点 平行四边形对角线的性质
1.如图14,在 ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是 ( )
图14
A.BO=DO B.AD=BC
C.OA=OC D.OB=OC
2.(2020蚌埠期末)如图15,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,BC=6,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为 ( )
图15
A.3 B.6 C.12 D.24
3.(教材例4变式)如图16, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
图16
4.(2020益阳)如图17, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC=6,BD=8,则AB的长可能是 ( )
图17
A.10 B.8
C.7 D.6
5.如图18,在 ABCD中,AC=6,BD=8,AC⊥BD,则AB的长为 .
图18
6.如图19,在 ABCD中,AB=8,BC=10,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,且OE=3,则四边形EFCD的周长是 .
图19
7.如图10,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,EF过点O且垂直于AD.
(1)求证:OE=OF;
(2)若S ABCD=63,OE=3.5,求AD的长.
图10
8.(2020柳州)如图11,已知 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD=12,BD=10,AC=26.
(1)求△ADO的周长;
(2)求证:△ADO是直角三角形.
图11
9.如图12,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE.若 ABCD的周长为28,则△ABE的周长为 ( )
图12
A.28
B.24
C.21
D.14
10.(2020重庆)如图13,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;
(2)求证:AE=CF.
图13
11.如图14①, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且分别与AD,BC相交于点E,F,则OE=OF.若将EF向两方延长,与 ABCD的两对边的延长线分别相交(如图②和图③),则OE与OF还相等吗 若相等,请说明理由.
图14
12.(1)如图15①, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.求证:AE=CF;
(2)如图②,将 ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处.设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I.求证:EI=FG.
① ②
图15
答案
19.2 第2课时 平行四边形对角线的性质
1.D
2.B ∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,
∴S△BOC=S△ABC=S ABCD=×6×4=6.
3.C ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵AC=6,∴OA=3,
∴在Rt△OAB中,OB===5,∴BD=2OB=10.
4.D 四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=AC=3,OB=BD=4.
在△AOB中,4-3
∴AB的长可能是6.
5.5
6.24 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=8,AD=BC=10,OA=OC,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中,∵,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴OF=OE=3,CF=AE.
故四边形EFCD的周长为CD+EF+DE+FC=CD+EF+AD=8+6+10=24.
7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,∴∠EAO=∠FCO.
在△AEO和△CFO中,∵
∴△AEO≌△CFO,(ASA)
∴OE=OF.
(2)∵OE=OF,OE=3.5,∴EF=2OE=7.
又∵EF⊥AD,
∴S ABCD=AD·EF=63,∴AD=9.
8.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=AC,OB=OD=BD.
∵AC=26,BD=10,∴OA=13,OD=5.
又∵AD=12,
∴△AOD的周长=5+12+13=30.
(2)证明:由(1)知OA=13,OD=5,AD=12.
∵52+122=132,
∴在△ADO中,AD2+OD2=OA2,
∴△ADO是直角三角形.
9.D ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,AB=CD,AD=BC.
∵ ABCD的周长为28,∴AB+AD=14.
∵OE⊥BD,∴OE是线段BD的垂直平分线,
∴BE=ED,
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14.
故选D.
10.解:(1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.
∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.
∵AC平分∠DAE,
∴∠DAC=∠EAO=40°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=40°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴AE=CF.
11.解:图②中OE与OF仍然相等.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,∴∠E=∠F.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF.
图③中OE与OF仍然相等.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AD∥BC,∴∠E=∠F.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF.
12. (1)如图①,由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,OA=OC.又由平行线的性质,可得∠1=∠2,继而利用ASA,可证得△AOE≌△COF,则可证得AE=CF;
(2)如图②,根据平行四边形的性质与折叠的性质,易得A1E=AE=CF,∠A1=∠A=∠C,∠B1=∠B=∠D,继而可证得△A1IE≌△CGF,即可证得EI=FG.
证明:(1)如图①.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,∴∠1=∠2.
在△AOE和△COF中,∵
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF.
(2)如图②.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D.
由(1),得AE=CF.
由折叠的性质可得AE=A1E,∠A1=∠A,∠B1=∠B,
∴A1E=CF,∠A1=∠C,∠B1=∠D.
又∵∠1=∠2,∴∠3=∠4.
∵∠5=∠3,∠6=∠4,∴∠5=∠6.
在△A1IE与△CGF中,∵
∴△A1IE≌△CGF(AAS),
∴EI=FG.数学
化学
19.2 第5课时 三角形的中位线
知识点 1 平行线分线段定理及其推论
1.如图15,已知直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A,C,E和B,D,F,AC=4,CE=4,BD=3,则BF的长为 ( )
图15
A.3 B.4 C.6 D.8
2.如图16,在△ABC中,AB=5,AC=4,D是AB的中点,DE∥BC交AC于点E,则AE= .
图16
知识点 2 三角形中位线定理
3.如图17,D,E分别是△ABC的边BA,BC的中点,AC=3,则DE的长为 ( )
图17
A.2 B. C.3 D.
4.(2020广州)如图18,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE.若∠C=68°,则∠AED的度数为 ( )
图18
A.22° B.68° C.96° D.112°
5.(2020广东)已知△ABC的周长为16,D,E,F分别为△ABC三条边的中点,则△DEF的周长为 ( )
A.8 B.2 C.16 D.4
6.(2020合肥庐阳区期末改编)如图19,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连接DF,EF.
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形;
(2)若AB=BC=5,求四边形BEFD的周长.
图19
7.如图10, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4,则 ABCD的周长为 ( )
图10
A.20 B.16 C.12 D.8
8.如图11,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=8,AD=6,M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 ( )
图11
A.8 B.6 C.4 D.5
9.(2020安庆期末)如图12,△ABC的周长为17,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线BN垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线CM垂直于AD,垂足为M.若BC=6,则MN的长度为 ( )
图12
A. B.2 C. D.3
10.(教材习题19.2T15变式)如图13,AD是△ABC的中线,E是AC上一点,且AE=EC,BE交AD于点F.求证:F是AD的中点.
图13
11.如图14,在△ABC中,AE平分∠BAC,AE⊥BE于点E,F是BC的中点.
(1)如图①,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
(2)如图②,请直接写出线段AB,AC,EF的数量关系.
图14
12.如图15所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,且AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,EF分别交AC, BD于点M,N.
求证:OM=ON.
图15
答案
19.2 第5课时 三角形的中位线
1.C ∵a∥b∥c,AC=CE=4,∴BD=DF=3,∴BF=6.
2.2 ∵D是AB的中点,DE∥BC,
∴AE=EC.
又∵AC=4,∴AE=2.
3.D ∵D,E分别是△ABC的边BA,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=AC=.
故选D.
4.B ∵D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,∴∠AED=∠C=68°.
5.A 如图.∵D,E,F分别为△ABC三条边的中点,
∴DE,DF,EF都是△ABC的中位线,
∴DF=AC,DE=BC,EF=AB,
故△DEF的周长=DE+DF+EF=(BC+AC+AB)=×16=8.
故选A.
6.解:(1)证明:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴DF,EF是△ABC的中位线,
∴DF∥BC,EF∥AB,
∴四边形BEFD是平行四边形.
(2)∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,AB=BC=5,
∴DF,EF是△ABC的中位线,
∴EF=AB=2.5,DF=BC=2.5,
∴四边形BEFD的周长=2(EF+DF)=10.
7.B ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC.∵E是AB的中点,∴AB=2AE,OE是△ABC的中位线,∴BC=2OE.∵AE+OE=4,∴AB+BC=2×4=8,∴ ABCD的周长为2×8=16.
8.D 如图,连接DN.
∵E,F分别为DM,MN的中点,
∴EF=DN.
当点N与点B重合时,DN的值最大,即EF的值最大.
在Rt△ABD中,∵∠A=90°,AD=6,AB=8,
∴BD===10,∴EF的最大值=BD=5.故选D.
9.C ∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,
∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE=90°.
在△BNA和△BNE中,
∵
∴△BNA≌△BNE,(ASA)
∴BA=BE,AN=NE,
∴△BAE是等腰三角形,N是AE的中点.
同理可得△CAD是等腰三角形,M是AD的中点,∴MN是△ADE的中位线.
∵BE+CD=AB+AC=17-BC=17-6=11,
∴DE=BE+CD-BC=5,
∴MN=DE=.
10.证明:如图,过点D作DG∥AC,交BE于点G.
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.
又∵DG∥AC,
∴BG=GE,
∴DG=EC.
∵AE=EC,∴AE=DG.
∵DG∥AC,
∴∠EAF=∠GDF,∠AEF=∠DGF.
在△AEF和△DGF中,∵
∴△AEF≌△DGF,∴AF=DF,
∴F是AD的中点.
11.解:(1)证明:∵AE⊥BE,
∴∠AED=∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠DAE+∠ADE=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠DAE,∴∠ABE=∠ADE,
∴AB=AD.
又∵AE⊥BE,∴BE=DE.
∵F是BC的中点,∴BF=FC,
∴EF=DC=(AC-AD)=(AC-AB).
(2)结论:EF=(AB-AC).
如图,延长AC交BE的延长线于点P.
∵AE⊥BE,∴∠AEP=∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠PAE+∠APE=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠PAE,∴∠ABE=∠APE,
∴AB=AP.
又∵AE⊥BE,∴BE=PE.
∵F是BC的中点,∴BF=FC,
∴EF=PC=(AP-AC)=(AB-AC).
12. 取AB的中点P,连接PE,PF.利用三角形中位线的性质,可发现PEBD,PFAC,易知∠PEF=∠PFE,可得∠ONM=∠OMN,得OM=ON.
证明: 如图,取AB的中点P,连接PE,PF.
∵E为AD的中点,F为BC的中点,
∴PE是△ABD的中位线,PF是△ABC的中位线,
∴PEBD,PFAC,
∴∠PEF=∠ONM,∠PFE=∠OMN.
∵AC=BD,∴PF=PE,
∴∠PFE=∠PEF,∴∠OMN=∠ONM,
∴OM=ON.