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圆中求线段长
教学内容
1、利用三角形相似；
2、解三角形；
3、等面积法．
教学过程
考点一:利用三角形相似
例1．（2019 福田区三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点A、B、D、E在圆O上，弧AE＝弧DE，连接BE交AE于F，∠BFC＝45°，EF＝2，BF＝4．
（1）求AE的长；
（2）求证：BC是圆O的切线；
（3）求tan∠ABC．
【解答】解：（1）∵弧AE＝弧DE∴∠DAE＝∠EBA，且∠AEF＝∠AEB∴△AEF∽△BEA
∴∴AE2＝BE EF，且EF＝2，BF＝4．∴AE2＝2×6＝12
∴AE＝2
（2）连接OE交AD于点H，连接OB，
∵△AEF∽△BEA∴∠BAE＝∠AFE＝∠BFC＝45°∴∠BOE＝90°，
∵，OE是半径∴OE⊥AD，且∠C＝90°，∴OE∥BC，且∠BOE＝90°
∴∠OBC＝90°，
即OB⊥BC，
∴BC是圆O的切线
（3）∵BF＝4，∠C＝90°，∠BFC＝45°
∴CF＝CB＝2
∵∠EHF＝90°，EF＝2，∠EFH＝45°
∴EH＝HF＝
∴AH＝＝
∴AC＝AH+HF+CF＝
∴tan∠ABC＝＝＝
训练1-1．（2021 龙岗区校级一模）如图，AC是⊙O的直径，点B、D是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．
【解答】（1）证明：连接OB、OD，如图1所示：
∵AB＝DB，AO＝DO，BO＝BO，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠ABO＝∠DBO，
∵OA＝OB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABO＝∠BAC＝∠BDC，
∴∠DBO＝∠BDC，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DC，
∴BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：延长BO交AD于点F，如图2所示：
由（1）可知，∠ABO＝∠DBO，
∵AB＝BD，
∴BF⊥AD，AF＝DF＝AD＝3，
∵∠BAF＝∠BCE，∠AFB＝∠E＝90°，BE＝2CE，
∴△ABF∽△CBE，
∴＝＝2，
∴BF＝2AF＝6，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝＝3，
∴BD＝AB＝3．
训练1-2．（2019 南山区校级一模）如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA＝8，求PB的长．
【解答】（1）证明：连接DE，OA．
∵PD是直径，∴∠DEP＝90°，
∵PB⊥FB，∴∠DEP＝∠FBP，
∴DE∥BF，
∵＝，
∴OA⊥DE，
∴OA⊥BF，
∴直线l是⊙O的切线．
（2）解：连接AD．
∵＝，
∴∠APD＝∠APB，
∵PD是直径，
∴∠PAD＝90°，
∴∠PAD＝∠ABP＝90°，
∴△PDA∽△PAB，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
例2．（2021 深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．
【解答】（1）证明：
∵AC∥BE，
∴∠E＝∠ACD，
∵D，C为的三等分点，
∴＝＝，
∴∠ACD＝∠A，
∴∠E＝∠A，
（2）解：由（1）知＝＝，
∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E，
∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BED，
∴＝，即，
解得DE＝，
∴CE＝DE﹣CD＝﹣3＝．
训练2-1．（2017 南山区二模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD＝2OD，且PB＝9，求⊙O的半径长和tan∠P的值．
【解答】（1）证明：连接OC，∴∠COB＝2∠CAB，
又∠POE＝2∠CAB．∴∠COD＝∠EOD，
又∵OC＝OE，∴∠ODC＝∠ODE＝90°，
即CE⊥AB；
（2）证明：∵CE⊥AB，∠P＝∠E，
∴∠P+∠PCD＝∠E+∠PCD＝90°，
又∠OCD＝∠E，
∴∠OCD+∠PCD＝∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：设⊙O的半径为r，OD＝x，则BD＝2x，r＝3x，
∵CD⊥OP，OC⊥PC，
∴Rt△OCD∽Rt△OPC，
∴OC2＝OD OP，即（3x）2＝x （3x+9），
解之得x＝，
∴⊙O的半径r＝，
同理可得PC2＝PD PO＝（PB+BD） （PB+OB）＝162，
∴PC＝9 ，
在Rt△OCP中，tan∠P＝＝．
训练2-2．（2021 南山区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点B且EC＝ED．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OF⊥AB，∴∠DOA＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠OCA+∠ADO＝90°，
∵∠ADO＝∠CDE，∴∠OCA+∠CDE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵EC＝ED，∴∠DCE＝∠EDC，∴∠OCA+∠DCE＝90°，∴EC⊥OC，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠CDE+∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF，
∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴OE＝＝＝5，
∴OD＝OE﹣DE＝2，
在Rt△OAD中，AD＝＝＝2，
在Rt△AOD和Rt△ACB中，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴，
即，
∴AC＝．
例3．（2018 南山区一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）已知AC＝2，EB＝4CE，求⊙O的直径
【解答】（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°．
∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°．
∴∠CAF＝∠ABD．
∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠ABC＝2∠CAF．
（2）如图，连接AE，
∴∠AEB＝90°，
设CE＝x，
∵CE：EB＝1：4，
∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，
在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
即（2）2＝x2+（3x）2，
∴x＝2．
∴BA＝10．
训练3-1．（2021 龙岗区二模）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠FCE＝90°，
又∵∠FDE＝90°，∠DEC＝90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF＝CE＝2，FC＝DE＝5．
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中（r﹣2）2+52＝r2，
∴．
训练3-2．（2021 坪山区一模）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AB、AC，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点，且AB平分∠EAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AB平分∠EAD，∴∠BAD＝∠BAE，∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠OAB，∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∴∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，OA是半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∴tan∠C＝tan∠BAD，
∵AD＝2BD，
∴＝＝，
∵∠E＝∠E，∠EAB＝∠C，
∴△ABE∽△CAE，
∴＝＝，
∵EC＝4，
∴AE＝2．
例4．（★）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）解：连接CD，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝4，
∴△ABC外接圆的半径为2；
（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，
∴△DBF∽△DAB，
∴＝，即＝，
∴AD＝9．
训练4-1．（★）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
训练4-2．（★）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG＝1．
①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；
②求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠BAD，
∴AD平分∠CAB．
（2）①DF＝DH，理由如下：
∵FH平分∠AFE，∴∠AFH＝∠EFH，又∠DFG＝∠EAD＝∠HAF，
∴∠DFG＝∠EAD＝∠HAF，∴∠DFG+∠GFH＝∠HAF+∠HFA，
即∠DFH＝∠DHF，∴DF＝DH．
②设HG＝x，则DH＝DF＝1+x，
∵OH⊥AD，∴AD＝2DH＝2（1+x），
∵∠DFG＝∠DAF，∠FDG＝∠FDG，∴△DFG∽△DAF，∴，
∴，
∴x＝1，
∵DF＝2，AD＝4，
∵AF为直径，
∴∠ADF＝90°，
∴AF＝
∴⊙O的半径为．
考点二:解三角形
例1．（2021 福田区一模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．
（1）连接BC，求证：BC＝OB；
（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．
【解答】解：（1）如图，连接OC，AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，
∵CD是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠DCB，
又∵CA＝CD，∴∠CAB＝∠CDB，∴∠DCB＝∠CDB，∴BC＝BD，
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵∠CBA＝2∠CDB＝2∠CAB，∴∠CBA＝90°×＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是正三角形，
∴BC＝OB；
（2）连接AE，过点A作AM⊥CE，垂足为M，
∵E是中点，
∴AE＝BE＝4，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝×90°＝45°，
在Rt△AEM中，AE＝4，∠AEM＝∠CBA＝60°，
∴EM＝AE＝2，AM＝AE＝2，
在Rt△ACM中，AM＝2，∠ACM＝45°，
∴CM＝AM＝2，
∴CE＝EM+CM＝2+2，
答：CE的长为2+2．
训练1-1．（2021春 深圳校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，
∴BE＝BC＝2，CE＝2，
∵AB＝2+，
∴AE＝AB﹣BE＝，
在Rt△ACE中，AC＝＝3，
∴AP＝AC＝3．
在Rt△PAO中，OA＝AP＝3，
∴⊙O的半径为3．
训练1-2．（2019 罗湖区一模）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于G，射线DO与直线CE相交于点E，直线DB与CE交于点H，且∠BDC＝∠BCH．
（1）求证：直线CE是圆O的切线．
（2）如图1，若OG＝BG，BH＝1，直接写出圆O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，将射线DO绕D点逆时针旋转，得射线DM，DM与AB交于点M，与圆O及切线CF分别相交于点N，F，当GM＝GD时，求切线CF的长．
【解答】解：（1）如图1，
∵CD⊥AB，∠4＝2∠2，∴∠1＝∠2，∴∠4＝2∠1，
∵∠1＝∠BCH，∴∠DCH＝2∠1，∴∠4＝∠DCH，
∵∠3+∠4＝90°，∴∠3+∠DCH＝90°，即∠OCH＝90°，
∴直线CE是圆O的切线；
（2）∵OG＝BG，且OB⊥CG，∴OC＝BC，
又∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠BCH＝30°，∠4＝60°，
∴∠H＝90°，∵BH＝1，∴OC＝BC＝2BH＝2，即圆O的半径为2；
（3）如图2，过点F作FE⊥DC．交DC延长线于点E，∴∠CFE+∠FCE＝90°，
∵OC⊥FC，∴∠OCG+∠FCE＝90°，∴∠CFE＝∠OCG，
∴tan∠CFE＝tan∠OCG，即＝，
设CE＝x，则EF＝x，
∵GM＝GD，MG⊥CD，∴∠MDG＝45°，
∵FE⊥ED，∴∠DFE＝90°﹣∠MDG＝45°＝∠MDG，∴EF＝ED＝EC+CD，
又∵CD＝2CG＝2×＝2，∴x＝x+2，
解得x＝3+，∴FC＝2EC＝6+2．
考点三:等面积法
例1．（2020 深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠OCB＝∠E，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝8，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∵CD AE＝AC CE，
∴CD＝＝．
训练1-1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，sin∠BCP＝，求点B到AC的距离．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°，
∴∠CAN+∠ACN＝90°，2∠BAN＝2∠CAN＝∠CAB，
∵∠CAB＝2∠BCP，∴∠BCP＝∠CAN，
∴∠ACP＝∠ACN+∠BCP＝∠ACN+∠CAN＝90°，
∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB＝AC，∠ANC＝90°，∴CN＝CB＝，
∵∠BCP＝∠CAN，sin∠BCP＝，∴sin∠CAN＝，∴，
∴AC＝5，∴AB＝AC＝5，
设AF＝x，则CF＝5﹣x，
在Rt△ABF中，BF2＝AB2﹣AF2＝25﹣x2，
在Rt△CBF中，BF2＝BC2﹣CF2＝2O﹣（5﹣x）2，
∴25﹣x2＝2O﹣（5﹣x）2，
∴x＝3，
∴BF2＝25﹣32＝16，
∴BF＝4，
即点B到AC的距离为4．
训练1-2．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠ADE＝∠1+∠B，∠DAE＝∠2+∠3，且∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴ED＝EA，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠DFE＝90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；
（2）解：连接DM，设EF＝4k，DF＝3k，则ED＝＝5k
∵AD EF＝AE DM，
∴DM＝＝＝，
∴ME＝＝k
∴cos∠AED＝＝
挑战过关
一．解答题（共5小题）
1．（2016 深圳二模）如图，⊙O中，点A为中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若，AB＝6，求sin∠ABD的值．
【解答】（1）证明：连接AO，交BC于点E．
∵点A是的中点
∴AO⊥BC，
又∵AP∥BC，
∴AP⊥AO，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵AO⊥BC，，
∴，
又∵AB＝6
∴，
∵OA＝OB
∴∠ABD＝∠BAO，
∴．
2．（2018 深圳模拟）如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD＝PB，连接BD．
（1）求证：PC∥BD；
（2）若⊙O的半径为2，∠ABP＝60°，求CP的长；
（3）随着点P的运动，的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠APC＝∠ABC＝45°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵PD＝PB，
∴∠PBD＝∠D＝45°，
∴∠APC＝∠D＝45°，
∴PC∥BD；
（2）解：作BH⊥CP，垂足为H，
∵⊙O的半径为2，∠ABP＝60°，
∴BC＝2，∠BCP＝∠BAP＝30°，∠CPB＝∠BAC＝45°，
在Rt△BCH中，CH＝BC cos∠BCH＝，
BH＝BC sin∠BCH＝，
在Rt△BHP中，PH＝BH＝，
∴CP＝CH+PH＝+；
（3）解：的值不变，
∵∠BCP＝∠BAP，∠CPB＝∠D，
∴△CBP∽△ABD，
∴＝＝，
∴＝，即＝．
3．（2019 宝安区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O与Rt△ACD的两直角边分别交于点E、F，点F是弧BE的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线．
（2）若BD＝1，OB＝2，求tan∠AFC的值．
【解答】（1）证明：连接OF，BE，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，∴∠AEB＝∠ACD，∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，∴OF⊥BE，∴OF⊥CD，
∵OF为半径，∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，∴AC∥OF，∴△OFD∽△ACD，∴，
∵BD＝1，OB＝2，∴OD＝3，AD＝5，∴，
∴CD＝＝＝，
∵，∴＝，
∴tan∠AFC＝．
4．（2021 罗湖区三模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（8﹣r）2＝r2+42，
∴r＝3，
∵tan∠E＝＝，
∴＝，
∴CD＝BC＝6，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝6．
5．（2019 南山区校级三模）如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连接BF．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若cos∠CBF＝，AE＝8，求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，
∵CB平分∠ACE，∴∠OCB＝∠BCF，∴∠OBC＝∠BCF，∴∠ABO＝∠AEC＝90°，
∴OB⊥AE，∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接DF交OB于G，
∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴∠CFD＝∠CEA，∴DF∥AE，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵∠CDF＝∠CBF，∴∠A＝∠CBF，∴cos∠A＝cos∠CEF＝，
∵AE＝8，∴AC＝10，∴CE＝6，
∵DF∥AE，∴DF⊥OB，∴DG＝GF＝BE，
设BE＝2x，则DF＝4x，CD＝5x，∴OC＝OB＝2.5x，∴AO＝10﹣2.5x，AB＝8﹣2x，
∵AO2＝AB2+OB2，∴（10﹣2.5x）2＝（8﹣2x）2+（2.5x）2，
解得：x＝（负值舍去），∴⊙O的半径＝；
（3）解：由（2）知BE＝2x＝3，
∵AE是⊙O的切线；∴∠BCE＝∠EBF，
∵∠E＝∠E，∴△BEF∽△CEB，∴，∴＝，
∴EF＝，
∴BF＝＝．
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圆中求线段长
教学内容
1、利用三角形相似；
2、解三角形；
3、等面积法．
教学过程
考点一:利用三角形相似
例1．（2019 福田区三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点A、B、D、E在圆O上，弧AE＝弧DE，连接BE交AE于F，∠BFC＝45°，EF＝2，BF＝4．
（1）求AE的长；
（2）求证：BC是圆O的切线；
（3）求tan∠ABC．
训练1-1．（2021 龙岗区校级一模）如图，AC是⊙O的直径，点B、D是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．
训练1-2．（2019 南山区校级一模）如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA＝8，求PB的长．
例2．（2021 深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．
训练2-1．（2017 南山区二模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD＝2OD，且PB＝9，求⊙O的半径长和tan∠P的值．
训练2-2．（2021 南山区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作线段CE，交DF于点B且EC＝ED．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
例3．（2018 南山区一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D、E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）已知AC＝2，EB＝4CE，求⊙O的直径
训练3-1．（2021 龙岗区二模）如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．
训练3-2．（2021 坪山区一模）如图，BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点，连接AB、AC，AD⊥BC于点D，E是直径CB延长线上一点，且AB平分∠EAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若EC＝4，AD＝2BD，求EA．
例4．（★）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长．
训练4-1．（★）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
训练4-2．（★）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG＝1．
①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；
②求⊙O的半径．
考点二:解三角形
例1．（2021 福田区一模）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．
（1）连接BC，求证：BC＝OB；
（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．
训练1-1．（2021春 深圳校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．
训练1-2．（2019 罗湖区一模）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于G，射线DO与直线CE相交于点E，直线DB与CE交于点H，且∠BDC＝∠BCH．
（1）求证：直线CE是圆O的切线．
（2）如图1，若OG＝BG，BH＝1，直接写出圆O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，将射线DO绕D点逆时针旋转，得射线DM，DM与AB交于点M，与圆O及切线CF分别相交于点N，F，当GM＝GD时，求切线CF的长．
考点三:等面积法
例1．（2020 深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
训练1-1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，sin∠BCP＝，求点B到AC的距离．
训练1-2．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值．
挑战过关
一．解答题（共5小题）
1．（2016 深圳二模）如图，⊙O中，点A为中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若，AB＝6，求sin∠ABD的值．
2．（2018 深圳模拟）如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD＝PB，连接BD．
（1）求证：PC∥BD；
（2）若⊙O的半径为2，∠ABP＝60°，求CP的长；
（3）随着点P的运动，的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明．
3．（2019 宝安区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O与Rt△ACD的两直角边分别交于点E、F，点F是弧BE的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线．
（2）若BD＝1，OB＝2，求tan∠AFC的值．
4．（2021 罗湖区三模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．
5．（2019 南山区校级三模）如图，已知Rt△ACE中，∠AEC＝90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连接BF．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若cos∠CBF＝，AE＝8，求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下，求BF的长．
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