沪科版数学八年级下册同步课件：17.3 一元二次方程根的判别式

(共15张PPT)
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
获取新知
通过配方，我们得到了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，
因为a≠0，所以：
(1) 当b2－4ac>0时， 是一个正实数，因此方程有两个不相等的实数根:
(2) 当b2－4ac=0时， ，因此方程有两个相等的实数根:
(3) 当b2－4ac<0时， 在实数范围内无意义 ，因此方程没有实数根:
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，
用符号“ ”来表示，即 =b2-4ac.
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
> 0
= 0
< 0
≥ 0
例题讲解
例1 不解方程，判别下列方程根的情况:
(1)5x2－3x－2＝0； (2)25y2＋4＝20y；
(3)2x2＋ x＋1＝0.
解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0,
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可变形为 25y2－20y＋4＝0.
因为 Δ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(3)因为Δ＝ －4×2×l＝－5＜0,
所以原方程没有实数根.
例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0
有两个不相等的实数根？
解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，
∴k≠0.方程根的判别式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.
由144－36k＞0，求得k＜4，又 k≠0，
∴当k＜4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
根的判别式的应用：
(1)直用：不解方程，可以判断方程根的情况．
(2)逆用：已知方程根的情况，判断字母系数的取值范围．
注意：一元二次方程有实数根，包含有两个相等的实数根
和有两个不相等的实数根两种情况．
随堂演练
1. 下列一元二次方程中,没有实数根的是(　　)
A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0
C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2
C
2若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有
两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
B
3. 若关于x的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为　 .
4.不解方程,判断下列一元二次方程根的情况:
(1)9x2+6x+1=0;(2)x(2x+3)=4x+6;(3) x2-x+1=0
解:(1)∵a=9,b=6,c=1,
∴b2-4ac=36-36=0,
∴此方程有两个相等的实数根.
(2)将一元二次方程化为一般形式,得2x2-x-6=0.
∵a=2,b=-1,c=-6,
∴b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
(3)x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.
∴方程无实数根．
5.不解方程，判别关于x的方程
的根的情况.
解：a=1, ,c=k2
因为
所以方程有两个实数根
课堂小结
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)
判别式的情况 根 的 情 况 定 理 与 逆 定 理
△＞0 两个不相等的实根 △＞0 两个不相等的实根
△＝0 两个相等的实根 △＝0 两个相等的实根
△＜0 无实根 △＜0 无实根