沪科版数学八年级下册同步课件：17.4 一元二次方程的根与系数的关系

(共14张PPT)
第17章 一元二次方程
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
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探究
在前面17.2节中，我们学过，一元二次方程的每一个根都可由它的各项系数通过运算得到.
进一步，你是否注意到每个方程中的两根之和(x1＋x2)、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2
x2＋2x－15＝0
3x2－4x＋1＝0
2x2－5x＋1＝0
3
-5
-2
-15
1
根据你的观察，猜想：
方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根如果是x1，x2，那么
x1＋x2＝_______, x1x2＝_______.
你能证明上面的猜想吗？
我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两根为：
重要发现
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+px+q=0,两个根为x1、 x2，那么
注意前提条件是b2-4ac 0
≥
例题讲解
解：设方程的另一个根是x2，则
解方程组，得
答：方程的另一个根为 k的值为7.
例1 已知关于x的方程2x2＋kx－4＝0的一个根是－4,求它的另一个根及k的值.
此种类型的问题，可以代入已知根；也可以根据根与系数的关系来解决
例2 方程 2x2－3x＋1＝0的两个根记作x1 ， x2不解方程，求x1 －x2的值.
解：由韦达定理，得
拓展：常见的涉及一元二次方程的两个根x1，x2
的代数式的重要变形有：
①x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2；
④(x1＋k)(x2＋k)＝x1·x2＋k(x1＋x2)＋k2；
⑤
随堂演练
1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，
则x1·x2的值是(　　)
A．4　　　B．－4　　C．3　　D．－3
D
2. 已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2
为根的一元二次方程是(　　)
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
A
3.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则
x1+x2 = ______ , x1x2 = _______，
x12+x22 = (x1+x2)2 - ________ = _____,
(x1-x2)2 = (______)2 - 4x1x2 = _____.
x1+x2
2x1x2
4
1
14
12
4. 已知关于x的一元二次方程x2+x+m2-2m=0有一个实数根为-1,求m的值及方程的另一个实数根.
解:设方程的另一根为x2,
则-1+x2=-1,解得x2=0.
把x=-1代入x2+x+m2-2m=0,得(-1)2+(-1)+m2-2m=0,
即m(m-2)=0,解得m1=0,m2=2.
综上所述,m的值是0或2,方程的另一个实数根是0.
课堂小结
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
二次项系数为1的形式x2+px+q=0时，
x1+x2=-p，x1·x2=q
应 用