四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学（理）试题

保密 ★ 启用前 【考试时间：2013年1月26日15:00—17:00】
绵阳市高中2010级第二次诊断性考试
数 学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x+y-1=0的倾斜角是
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．计算：1+i+i2+i3+…+i100（i为虚数单位）的结果是
A．0 B．1 C．i D．i+1
3．已知a、b∈R，那么“ab<0”是“方程ax2+by2=1表示双曲线”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的
A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
5．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为
A． B．
C． D．
6．若loga(a2+1)A．(0，) B．(，1)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，+∞)
7．现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同排法的种数是
A．12种 B．24种 C．36种 D．72种
8．已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
9．已知关于x的一元二次方程x2-2x+b-a+3=0，其中a、b为常数，点(a，b)是区域内的随机点．设该方程的两个实数根分别为x1、x2，则x1、x2满足0≤x1≤1≤x2的概率是
A． B． C． D．
10．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是
A．3或8 B．8或11 C．5或8 D．3或11
第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人．
12．右图表示的程序所输出的结果是　　　　.
13．的展开式的常数项是__________.（填写具体数字）
14．我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线与双曲线是“相近双曲线”，则的取值范围是 .
15．已知函数，若对给定的三角形ABC，它的三边的长a、b、c均在函数的定义域内，都有、、也为某三角形的三边的长，则称是△ABC的“三角形函数”．下面给出四个命题：
①函数是任意三角形的“三角形函数”；
②若定义在上的周期函数的值域也是，则是任意三角形的“三角形函数”；
③若函数在区间上是某三角形的“三角形函数”，则m的取值范围是；
④若a、b、c是锐角△ABC的三边长，且a、b、c∈N+，则是△ABC的“三角形函数”．
以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数f?(x)=(sinx+cosx)2-2sin2x．
（Ⅰ）求f?(x)的单调递减区间；
（Ⅱ）A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若，=12，，且b17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求证：PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）求二面角C-PB-D的大小．
18．（本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为．
（Ⅰ）求甲投篮三次恰好得三分的概率；
（Ⅱ）假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得分总和的差，求随机变量X的分布列．
19．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{an}的首项，2an+1an=kan-an+1（n∈N+，k是不等于1的正常数）．
（Ⅰ）试问数列是否成等比数列，请说明理由；
（Ⅱ）当k=3时，比较an与的大小，请写出推理过程．
20．（本小题满分13分）动点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和它到直线l：x=4的距离之比是常数，O为坐标原点．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？
（Ⅱ）已知圆C的圆心在原点，半径长为，是否存在圆C的切线m，使得m与圆C相切于点P，与轨迹E交于A、B两点，且使等式成立？若存在，求出m的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）已知函数f?(x)=xlnx(x∈(0，+∞))．
（Ⅰ）求(x∈(-1，+∞))的单调区间与极大值；
（Ⅱ）任取两个不等的正数x1、x2，且x10使成立，求证：x1（Ⅲ）已知数列{an}满足a1=1，(n∈N+)，求证：（e为自然对数的底数）．
绵阳市高中2010级第二次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
CBCAA BBDAD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．30 12．30 13．-9 14．∪ 15．①④
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（Ⅰ）f?(x)=1+sin2x-1+cos2x=sin(2x+)，
∴ 当≤2x+≤时，f?(x)单调递减，
解得≤x≤，
即f?(x)的单调递减区间为[，](k∈Z)． ……………………6分
（Ⅱ）f?()=sin(+)=，即sin(+)=，
∴ +=或，即A=或（舍）．
由=c·b·cosA=12，cosA=，得bc=24．①
又cosA=，得b2+c2=52．
∵ b2+c2+2bc=(b+c)2 =100，b>0，c>0，
∴ b+c=10，②
联立①②，且b17．解：如图所示建立空间直角坐标系，设DC=1．
（Ⅰ）连结AC，交BD于G，连结EG．依题意得
A(1，0，0)，P(0，0，1)，E(0，，)．
∵ 底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(，，0)，
且．
∴ ，这表明PA//EG．而EG平面EDB且PA平面EDB，
∴ PA//平面EDB． ……………………………………………………………4分
（Ⅱ）依题意得B(1，1，0)，=(1，1，-1)．
又， 故．
∴．
由已知，且，
∴ 平面EFD．…………………………………………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，故是所求二面角的平面角．
设点F的坐标为(x0，y0，z0)，，
则(x0，y0，z0-1)=k(1，1，-1)，从而x0=k，y0=k，z0=1-k，
∵ =0，所以(1，1，-1)·(k，k，1-k)=0，解得，
∴ 点F的坐标为，且，
∴ ，得．
∴ 二面角C-PB-D的大小为．…………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中，
∵ 甲投篮三次中的次数x～B(3，)，
∴ P(x=1)=，
甲投篮三次恰好得三分的概率为．…………………………………………4分
（Ⅱ）设甲投中的次数为m，乙投中的次数为n，
①当m=0，n=2时，X=-6，
∴ P(X=-6)=．
②当m=1，n=2或m=0，n=1时，X=-3，
∴ P(X=-3)=．
③当m=1，n=1或m=0，n=0时，X=0，
∴ P(X=0)=．
④当m=1，n=0时，X=3，
∴ P(X=3)=．
∴X的分布列为
X
-6
-3
0
3
P
…………………………………12分
19．解：（Ⅰ）由 2an+1an=kan-an+1，可得=，
∴==，首项为．
若，即k=时，数列为零数列，不成等比数列．
若，即k>0，k1且k时，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
∴ 综上所述，当k=时，数列不成等比数列；当k>0，k1且k时，数列是等比数列．……………………………………6分
（Ⅱ）当k=3时，数列是以为首项，为公比的等比数列．
∴ ，即an==1-，
∴ an-=1--(1-)=-=，
令F(x) =3x-3x-4(x≥1)，则=3xln3-3≥>0，
∴ F(x)在上是增函数．
而F(1)=-4<0，F(2)=-1<0，F(3)=14>0，
∴ ①当n=1和n=2时， an<；
②当n≥3时，3n+1>3n+5，即>，此时an>．
∴ 综上所述，当n=1和n=2时，an<；当n≥3时，an>．…12分
20．解：（Ⅰ）由题意得，，
化简得：，即轨迹E为焦点在x轴上的椭圆． ………………5分
（Ⅱ）设A(x1，x2)，B(x2，y2)．
∵ =()?()=+++，
由题知OP⊥AB，故=0，=0．
∴ =+=-=0．
假设满足条件的直线m存在，
①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x=，
代入椭圆，得y=．
∴ =x1x2+y1y2=-2-0，这与=0矛盾，故此时m不存在．
②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b，
∴ |OP|=，即b2=2k2+2．
联立与y=kx+b得，(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0，
∴ x1+x2=，x1x2=，
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=，
∴ =x1x2+y1y2=+=0．
∴ 7b2-12k2-12=0，
又∵ b2=2k2+2，
∴ 2k2+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在．
综上所述，不存在直线m满足条件．………………………………………13分
21．解：（Ⅰ）由已知有=，
于是．
故当x∈(-1，0)时，>0；当x∈(0，+∞)时，<0．
所以g(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞)，g(x)的极大值是g(0)=0． ……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）因为，所以=，于是
==
==，
令=t (t>1)，，
因为，只需证明．
令，则，
∴ 在递减，所以，
于是h(t)<0，即，故．
仿此可证，故．……………………………………………10分
（Ⅲ）因为，，所以单调递增，≥1．
于是，
所以． （*）
由（Ⅰ）知当x>0时，所以（*）式变为．
即(k∈N，k≥2)，
令k=2，3，…，n，这n-1个式子相加得
=
=
，
即，所以．……………………………………14分