四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学（文）试题

保密 ★ 启用前 【考试时间：2013年1月26日15:00—17:00】
绵阳市高中2010级第二次诊断性考试
数 学（文科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={x|x2-2x≤0，x∈R}，集合B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B=
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0≤x≤1} C．{x|-1≤x≤2} D．{x|1≤x≤2}
2．计算：1+i+i2+i3+…+i100（i为虚数单位）的结果是
A．0 B．1 C．i D．i+1
3．已知a、b∈R，那么“ab<0”是“方程ax2+by2=1表示双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的
A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
5．如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是
A． B． C． D．
6．一个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的体积为
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，⊙M过原点且与坐标轴交于A(a，0)，B(0，a)两点，其中a>0．已知直线x+y-2=0截⊙M的弦长为，则a=
A． B． C． D．
8．已知函数f?(x)=数列{an}满足an=f?(n)（n∈N+），且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是
A．(1，3) B．(2，3) C． D．
9．已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
10．用max{a，b，c}表示a、b、c中的最大者，若x、y、z均为正数，则max{x2+y2，xy+z，}的最小值为
A． B. C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．《人再囧途之泰囧》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%，若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象，则抽取的女观众人数为 人．
12．直线x+y-1=0的倾斜角的大小是 .
13．右图表示的程序所输出的结果是　　　　.
14．我们把离心率之差的绝对值等于1的两条双曲线称为“姊妹双曲线”．已知双曲线与双曲线是“姊妹双曲线”，则的值是 .
15．已知函数，若对给定的三角形ABC，它的三边的长a、b、c均在函数的定义域内，都有、、也为某三角形的三边的长，则称是△ABC的“三角形函数”．下面给出四个命题：
①函数f1(x)=kx(k>0，x∈(0，+∞))是任意三角形的“三角形函数”；
②不存在三角形，使得函数是它的“三角形函数”；
③若定义在上的周期函数的值域也是，则是任意三角形的“三角形函数”；
④对锐角△ABC，它的三边长a、b、c∈N+，则是锐角△ABC 的“三角形函数”．
以上命题正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知函数f?(x)=(sinx+cosx)2-2sin2x．
（Ⅰ）求f?(x)的单调递减区间；
（Ⅱ）A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若，=12，，且b17．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．
（Ⅰ）求证：平面A1BD//平面CB1D1；
（Ⅱ）求直线A1B与平面A1B1CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）设该正方体棱长为4cm，现将正方体的表面涂成红色，再适当全部分割成棱长为1cm的小正方体，试求两面涂色的小正方体和六面均没涂色的小正方体的各有多少个？（请直接写出结果，不必说明理由）
18．（本小题满分12分）已知等比数列{an}(n∈N+)的首项和公比均为常数q．
（Ⅰ）若a3、a2、a4依次成等差数列，求q的值；
（Ⅱ）若an>0，数列{bn}的前n项和是Sn，bn=lgan，求使得对任意n∈N*都有Sn≤n2恒成立的常数q的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+b-a+3=0，其中a、b为常数，点(a，b)是区域内的随机点．
（Ⅰ）当方程无实根且a、b∈N时，试列举出所有的点(a，b)，并求此时概率P1；
（Ⅱ）设该方程的两个实根分别为x1、x2，试求x1、x2满足0≤x1≤1≤x2时的概率P2．
20．（本小题满分13分）动点M(x，y)与定点F(1，0)的距离和它到直线l：x=4的距离之比是常数，O为坐标原点．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹E是什么图形？
（Ⅱ）已知圆C的圆心在原点，半径长为，是否存在圆C的切线m，使得m与圆C相切于点P，与轨迹E交于A、B两点，且使等式成立？若存在，求出m的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）已知函数f?(x)=xlnx(x∈(0，+∞))．
（Ⅰ）求f?(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数g(x)=2f?(x)-blnx+x在上存在零点，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）任取两个不等的正数x1、x2，且x10使成立，求证：x0>x1．
绵阳市高中2010级第二次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
BBCAD ABDDA
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．30　　　12． 13．30 14．或8 15．①④
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（Ⅰ）f?(x)=1+sin2x-1+cos2x=sin(2x+)，
∴ 当≤2x+≤时，f?(x)单调递减，
解得≤x≤，
即f?(x)的单调递减区间为[，](k∈Z)． ……………………6分
（Ⅱ）f?()=sin(+)=，即sin(+)=，
∴ +=或，即A=或（舍）．
由=c·b·cosA=12，cosA=，得bc=24．①
又cosA=，得b2+c2=52．
∵ b2+c2+2bc=(b+c)2 =100，b>0，c>0，
∴ b+c=10，②
联立①②，且b17．（Ⅰ）证明：在正方形ABCD-A1B1C1D1中，
由A1D1 BC，知四边形A1BCD1是平行四边形，
∴ A1B∥D1C，
∴ A1B//平面CB1D1.
同理可证：BD//平面CB1D1，
∴ 平面A1BD∥平面CB1D1.………………………4分
（Ⅱ）解：设正方体的边长为a，连接BC1交B1C于点 O，连接A1O，
在正方形ABCD-A1B1C1D1中，DC⊥平面BCC1B1，
∴ DC⊥BC1.
又BC1⊥B1C，
∴ BC1⊥平面A1B1CD．
∴A1B在平面A1B1CD上的射影为A1O．
∴ ∠BA1O是直线A1B与平面A1B1CD所成的角．
易知：，
在Rt△A1BO中，A1O=，，
即直线A1B与平面A1B1CD所成角的余弦值为． ……………………8分
（Ⅲ）解：两面涂色的小正方形有24个；六面均没有涂色的小正方形有8个． ……………………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）∵ a3、a2、a4依次成等差数列，
∴2a2=a3+a4，即2a1q=a1q2+a1q3．
由已知a1=q≠0，于是上式化简q2+q-2=0，解得q=1或q=-2．…………4分
（Ⅱ）由题意知：an=a1=qn，
由an>0知q>0．
∴ bn=lgqn=nlgq．
∴ 数列{bn}是首项为lgq，公差为lgq的等差数列
∴ ．…………………………………………7分
∴ 由题知不等式≤n2对任意n∈N*恒成立，
即lgq≤对任意n∈N*恒成立．
设，由，易知对任意n∈N*单调递增，∴ ，
∴ lgq≤[g(n)]min，即lgq≤1，解得0即常数q的取值范围为019．解：（Ⅰ）当a、b∈N时，所有的点(a，b) 共有25个，分别为：
(0，0) (0，1) (0，2) (0，3) (0，4)
(1，0) (1，1) (1，2) (1，3) ?(1，4)
(2，0) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
(3，0) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
(4，0) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
∵ 关于x的一元二次方程x2-2x+b-a+3=0无实根，
∴ ，即a-b-2<0，
满足a-b-2<0的点(a，b)共有19个，
∴ P1．…………………………………………6分
（Ⅱ）设函数，
∵ 该方程的二实根x1、x2满足0≤x1≤1≤x2，
∴ 即
由图知：满足0≤x1≤1≤x2时的概率P2 ． ……12分
20．解：（Ⅰ）由题意得，，
化简得：，即轨迹E为焦点在x轴上的椭圆． ………………5分
（Ⅱ）设A(x1，x2)，B(x2，y2)．
∵ =()?()=+++，
由题知OP⊥AB，故=0，=0．
∴ =+=-=0．
假设满足条件的直线m存在，
①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x=，
代入椭圆，得y=．
∴ =x1x2+y1y2=-2-0，这与=0矛盾，故此时m不存在．
②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b，
∴ |OP|=，即b2=2k2+2．
联立与y=kx+b得，(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0，
∴ x1+x2=，x1x2=，
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=，
∴ =x1x2+y1y2=+=0．
∴ 7b2-12k2-12=0，
又∵ b2=2k2+2，
∴ 2k2+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在．
综上所述，不存在直线m满足条件．………………………………………13分21．解：（Ⅰ），
由，即时，所以在区间上单调递增，
由，即时，所以在区间上单调递减，
∴ 函数的单调递增区间为，单调递减区间为．………5分
（Ⅱ）∵ 函数g(x)=2f?(x)-blnx+x在上存在零点，
∴ 方程在上有实数解．
易知x=1不是方程的实数解，
∴ 方程在上有实数解，
即方程在错误！链接无效。上有实数解．
设，
，
∵ ，∴ ，，
当，即时，；
当，即时，，
∴ 在上单调递减，在上单调递增，
∴ ，
∴ 实数b的取值范围为．………………………………………10分
（Ⅲ）∵ 存在x0>0使成立，
∴ 成立．
要证明：x0>x1 成立，
只需证明 成立，
只需证明 成立，
只需证明 成立，
只需证明 成立．
设，∵ x1令 ，
∵ ，
∴ 在上单调递增，
∴ ，即 成立，
∴ 不等式 x0>x1成立．………………………………………………………14分