§1.1.1 任意角
学习目标
1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐
标系讨论任意角.
2.能在0o到360o范围内，找出一个与已知角终边相
同的角，并判定其为第几象限角.
3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P5，找出疑惑之处）
体操跳水比赛中有“转体720o”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720o在这里表示什么？
二、新课导学
※ 探索新知
问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？
问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？
（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？
问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）
问题4：能以同一条射线为始边作出下列角吗？
210o -150o -660o
问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.
问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系？
你能写出与60o角的终边相同的角的集合吗？
※ 典型例题
例1：在0o到360o的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）650o （2）-150o （3）-990o151
变式训练：（1）终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x轴上呢？
（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
例2:若α与240o角的终边相同
（1）写出终边与的终边关于直线y=x对称的角的集合.
（2）判断是第几象限角.
变式训练：若是第三象限角，则-，，2分别是第几象限角.
例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）.
变式训练：
（1）第一象限角的范围____________.
（2）第二、四象限角的范围是 ______________.
※ 动手试试
1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，
C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C
C．AC D．A=B=C
2.下列结论正确的是（ ）
A.三角形的内角必是一、二象限内的角
B．第一象限的角必是锐角
C．不相等的角终边一定不同
D． =
3.若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合
为______________________．
4.在0°到360°范围内，终边与角－60°的终边在同
一条直线上的角为 ．
三、小结反思
本节内容延伸的流程图为：
学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1、下列说法中，正确的是（ ）
A．第一象限的角是锐角
B．锐角是第一象限的角
C．小于90°的角是锐角
D．0°到90°的角是第一象限的角
2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的
终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个.
上面4个命题，其中真命题的个数是 （ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（ ）
A．｛α∣90°<α<180°｝
B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝
C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
4、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．
5、若角的终边为第一、三象限的角平分线，则角集合是 .
课后作业
6、将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表示出来（包括边界）.
7、角,的终边关于对称,且
=-60°，求角.
第一章 三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
教学目标：
1、知识与技能
（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2、过程与方法
通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
难点: 终边相同的角的表示.
三、学法与教学用具
之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.
教学用具:电脑、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25
小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【探究新知】
1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？
[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.
2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?
[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).
[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.
3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
4.[展示投影]练习:
(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几? 天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.
[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果的终边是,那么角的终边都是,而,.
设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.
一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合
,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.
6.[展示投影]例题讲评
例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式
的元素写出来.
7.[展示投影]练习
教材第3、4、5题.
注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
8.学习小结
你知道角是如何推广的吗?
象限角是如何定义的呢?
你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在轴、轴、直
线上的角的集合.
五、评价设计
1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题．
2．多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，
进一步理解具有相同终边的角的特点．
双基达标 ?限时20分钟?
1．下列角中，终边与330°角终边相同的是( )．
A．－630° B．－1 830° C．30° D．990°
解析 与330°角终边相同的角α＝330°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝－6时，α＝－1 830°.
即－1 830°角终边与330°角终边相同．
答案 B
2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )．
A．在x轴的正半轴上 B．在x轴的负半轴上
C．在y轴的负半轴上 D．在y轴的正半轴上
解析 由角α与β的终边相同，得
α＝β＋k·360°，k∈Z.
所以α－β＝k·360°，k∈Z.
故α－β的终边在x轴的正半轴上．
答案 A
3．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )．
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
解析 ∵角2α的终边在x轴上方，
∴k·360°<2α∴k·180°<α当k为奇数时，α在第三象限．
当k为偶数时，α在第一象限．
答案 C
4．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
解析 在[0°，360°)内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，
∴β＝k·360°＋60°(k∈Z)．
答案 k·360°＋60°(k∈Z)
5．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小的正角是________．
解析 与α角终边相同的角为β＝k·360°－3 000°(k∈Z)．
由题意，令k·360°－3 000°>0°，则k>，故取k＝9，得与α终边相同的最小正角为240°.
答案 240°
6．已知α＝－1 910°.
(1)把角α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；
(2)求出θ的值，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解 (1)∵－1 910°＝－6×360°＋250°.0≤250°<360°.
∴把α＝－1 910°写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式为α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．
(2)∵θ与α的终边相同，
令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1或－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或－470°.
综合提高 ?限时25分钟?
7．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α、β终边的位置关系是( )．
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析 由α＝n·360°＋θ可知α与θ是终边相同的角；由β＝m·360°－θ可知β与－θ是终边相同的角，而θ与－θ两角关于x轴对称，故α与β两角终边关于x轴对称．
答案 C
8．(2012·孝感高一检测)给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有
( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 －90°<－75°<0°，180°<225°<270°.
360°＋90°<475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°.
∴这四个命题都是正确的．
答案 D
9．在－720°到720°之间与－1 000°角终边相同的角是________．
解析 与－1 000°角终边相同的角的集合是S＝{α|α＝－1 000°＋k·360°，k∈Z}，分别对k赋予不同的数值便可求出结果．
答案 －640°，－280°，80°，440°
10．与－1 050°角终边相同的最小正角是________．
解析 －1 050°＝－3×360°＋30°，故答案为30°.
答案 30°
11．如图所示，写出终边落在图中阴影部分
(包括边界)的角的集合，并指出－950°是否是
该集合中的角．
解 终边落在阴影部分(包括边界)的角的集
合为{x|120°＋k·360°≤x≤250°＋k·360°，k∈Z}．
因为－950°＝130°－3×360°，120°<130°<250°，
所以－950°是该集合中的角．
12．(创新拓展)已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α解 如图所示，集合A中角的终边是30°至90°角的
终边或210°至270°角的终边，集合B中角的终边是
－45°至45°角的终边，
∴A∩B的角的终边是30°至45°角的终边，
∴A∩B＝{α|k·360°＋30°<α课件33张PPT。1．1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角一条射线旋转逆时针顺时针没有第几象限的角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 题型一 有关角的概念问题单击此处进入 活页限时训练课件24张PPT。1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角第一章 三角函数 高中新课程数学必修④问题提出1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？ 2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念. 3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广. 任意角知识探究（一）：角的概念的推广 思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？ 思考4：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？ 规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注. 思考5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小. 对于α＝210°， ＝－150°，＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？ 思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？ －120°，450°.思考7：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？ 以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角. 思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？ k·360°（k∈Z） 知识探究（二）：象限角 思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？ 思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,
-200°，－450°分别是第几象限的角？－450°思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. 思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？知识探究（三）：终边相同的角 思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？－32°－392°328°思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？ 思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？ 思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；
y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？ 终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°， k∈Z}. 思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？ 第一象限：S={α | k·360°<α<
90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α<
180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α<
270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S={α | －90°＋k·360°<
α－315°，-135°，45°，225°，405°，585°. 例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素写出来. 小结作业1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个. 用β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角. 作业：
P5 练习 ：3，4，5. 课件14张PPT。1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角第二课时知识回顾 1.角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.2.角的方向3.象限角 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合. 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.4.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合:
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}知识拓展 思考1：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：α= k·360°;x轴负半轴：α= 180°＋k·360°;y轴正半轴：α= 90°＋k·360°;y轴负半轴：α= 270°＋k·360°.
其中k∈Z .思考2：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？ 终边在x轴上：
S={α|α=k·180°，k∈Z}.终边在y轴上：
S={α|α=90°＋k·180°,k∈Z}. 思考3：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？ 第一象限：
S={α|k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；第二象限：
S={α|900＋k·3600<α<1800+k·3600,k∈Z}；第三象限：
S={α|1800＋k·3600<α<2700+k·3600,k∈Z}；第四象限：
S={α|－900＋k·3600<αP9 习题1.1 A组：1，3.
