课件15张PPT。1.1.2 弧度制 1.1 任意角和弧度制 问题提出 1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别是怎样规定的？ 2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？ 4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制. 3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？ S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}弧度制探究1：弧度的概念思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ 将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角. 思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？ 思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数
为0.如果将半径为r圆的一条
半径OA，绕圆心顺时针旋转到
OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB
的大小为多少弧度？－2rad.B2r思考5：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？ 思考6：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是多少？ -1-2探究（二）：度与弧度的换算 思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？ 思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？ 思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？ 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？ 0思考6：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？ 知识迁移 例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值； （2）精确到0.001的近似值. 例2 (1) 已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇形的弧长和面积；
（2）已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角的弧度数. 小结作业1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以简化，这体现了弧度制优点. 作业：
P10 习题1.1 A组：
6，7，8，9，10.
§1.1.2 弧度制
学习目标
1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制
的换算，熟记特殊角的弧度数.
2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对
应关系.
3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）
在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？
二、新课导学
※ 探索新知
问题1：什么叫角度制？
问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？
问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？
问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？
问题5：角的集合与实数集R之间建立了________
对应关系。
问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.
问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导
过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。
※ 典型例题
例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）
（1） （2）3.5
（3）252o （4）11o151
变式训练：①填表
角度制
0o
45o
60o
90o
150o
180o
315o
弧度制
②若，则为第几象限角？
③用弧度制表示终边在y轴上的角的集合
___ ____.
用弧度制表示终边在第四象限的角的集合
__ _____.
例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积
②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积
变式训练（1）：一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.
变式训练 (2)：A=,
B=则A、B之间的关系为 .
※ 动手试试
1、将下列弧度转化为角度：
（1）= °；（2）－= ° ′；
（3）= °；
2、将下列角度转化为弧度：
（1）36°= rad； （2）－105°= rad；
（3）37°30′= rad；
3、已知集合M =｛x∣x = , ∈Z｝，N =｛x∣x = , k∈Z｝，则 （ ）
A．集合M是集合N的真子集
B．集合N是集合M的真子集
C．M = N
D．集合M与集合N之间没有包含关系
4、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
三、小结反思
角度制与弧度制是度量角的两种制度。在进行角度与弧度的换算时关键要
抓住180o= rad这一关系式，熟练掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.
学习评价
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1、把表示成的形式，使最小的为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、角α的终边落在区间（－3π,－π）内,则角α所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3、已知扇形的周长是，面积为，则扇形弧度数是（ ）
A、1 B、4 C、1或4 D、2或4
4、将下列各角的弧度数化为角度数：
（1） 度；（2）______度；
（3）1．4 = 度； （4） 度.
5、若圆的半径是，则的圆心角所对的弧长是 ；所对扇形的面积是__ .
课后作业
6、已知集合A=,
B=，求.
7、已知一个扇形周长为，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？
8、如图，已知一长为，宽为的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角，问点A走过的路程及走过的弧度所在扇形的总面积？
1.1.2弧度制
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.
三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:计算器、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.
弧的长
旋转的方向
的弧度数
的度数
逆时针方向
逆时针方向
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?
角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.
5.根据探究中填空:
,度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
6.例题讲解
例1.按照下列要求,把化成弧度:
精确值；
精确到0.001的近似值.
例2.将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.
7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
度
弧度
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
8.例题讲评
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1); (2); (3).
其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.
例4.利用计算器比较和的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
9.练习
教材.
9.学习小结
(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?
(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?
五、评价设计
1．作业：习题1.1 A组第7,8,9题．
2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．
双基达标 ?限时20分钟?
1．若α＝－3，则角α的终边在( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵－π<－3<－，∴α是第三象限角．
答案 C
2．将1 920°转化为弧度数为( )．
A. B. C. D.
解析 1 920°＝1 920×＝.
答案 D
3．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )．
A．－ B．－ C. D.
解析 ∵－＝－2π－.
∴－与－是终边相同的角，且此时|－|＝是最小的．
答案 A
4．已知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是________．
解析 ∵R＝16，α＝2 rad，
∴l＝α·R＝16×2＝32.
答案 32
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，
集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
解析 如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
答案 [－4，－π]∪[0，π]
6．判断下列各角所在的象限：
(1)9； (2)－4； (3)－.
解 (1)因为9＝2π＋(9－2π)，而<9－2π<π，所以9为第二象限角．
(2)因为－4＝－2π＋(2π－4)，而<2π－4<π，所以－4为第二象限角．
(3)－＝－200×2π＋，所以－为第一象限角．
综合提高 ?限时25分钟?
7．(2012·海淀高一检测)若α是第四象限角，则π－α是( )．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 ∵α是第四象限角．
∴2kπ－<α<2kπ(k∈Z)，
∴－2kπ<－α<－2kπ＋.
∴－2kπ＋π<π－α<－2kπ＋.
∴π－α是第三象限角．
答案 C
8．已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为( )．
A.π B.π C.π D.π
解析 ∵S＝rl，∴＝l，∴l＝，故选C.
答案 C
9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这扇形圆心角所对的弧长为________．
解析 设半径为R，则R sin 1＝1，
∴R＝，∴弧长l＝.
答案
10．若α＝kπ＋，k∈Z，则α是第________象限角．
解析 当k为偶数时，α是第一象限角，当k为奇数时，α是第三象限角．
答案 一或三
11．用弧度表示终边落在图中所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解 以OB为终边的330°角可看成为－30°角，化为弧度为－，而75°＝75×＝，∴终边落在阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
12．(创新拓展)如图，已知一长为 dm，宽1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
解 AA1所对的圆半径是2 dm，圆心角为，A1A2所对圆半径是1dm，圆心角是，A2A3所对的圆半径是 dm，圆心角是，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋×＋××＝(dm2)．
课件26张PPT。1．1.2 弧度制半径长正数负数2π 360°π180°单击此处进入 活页限时训练
