3.2.1 双曲线及其标准方程 导学案

3.2.1双曲线及其标准方程 导学案
1.掌握双曲线的标准方程及其求法.
2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.
3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.
重点：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题.
难点：双曲线的标准方程及其求法.
1.双曲线的定义
2.双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0)
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 b2=c2-a2
双曲线与椭圆的比较
椭圆 双曲线
定义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) ||MF1|-|MF2||=2a (0<2a<|F1F2|)
a,b,c的关系 b2=a2-c2 b2=c2-a2
焦点在 x轴上
焦点在 y轴上
1.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则点的轨迹是怎样的
2.判断
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.(　　)
(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
3.过点(1,1),且的双曲线的标准方程是(　　)
A.-y2=1 B.-x2=1
C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
我们知道，平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
从椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程。
设双曲线的焦点为 ，焦距为，而且双曲线上的动点P满足
2a其中 ，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时；双曲线的标准方程是什么？
二、典例解析
例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2);
(2)经过两点A(-7,-6),B(2,3).
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.
跟踪训练1 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(2,2);
(2)过点P,Q且焦点在坐标轴上.
跟踪训练2. “神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为(　　)
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线
D.双曲线的一支和一条射线
2.已知双曲线=1(a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为(　　)
A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m
3.已知方程=1表示双曲线,则m的取值范围是(　　)
A.(-1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(3)a=b,经过点(3,-1).
(2)以椭圆=1长轴的端点为焦点,且经过点(3,);
参考答案：
知识梳理
1.提示:①当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
②当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
③当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
2.判断答案:(1)×　(2)×　(3)×
3.解析:∵,∴b2=2a2.
当焦点在x轴上时,设双曲线方程为=1,
将点(1,1)代入方程中,得a2=.
此时双曲线的标准方程为-y2=1.同理求得焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-x2=1.
答案:D
学习过程
一、情景导学
以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
此时双曲线的焦点分别为
设P
2a
因为
所以 ①
①得
整理得=
且与①右边同时取正号或负号，①+ 整理得
=+ ③
将③式平方再整理得 ④
因为 ，所以>0
设=
且,则④可化为
(>0，>0)
例1分析(1)设双曲线方程为=1(a>0,b>0),代入点的坐标,解方程即可得到.
(2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.
解:(1)设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
则a=2=1,解得b2=16,
则双曲线的标准方程为=1.
(2)设双曲线方程为mx2-ny2=1,
则有解得
则双曲线的标准方程为=1.
跟踪训练1 解:(1)因为焦点在x轴上,
可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),
将点(4,-2)和(2,2)代入方程得
解得a2=8,b2=4,
所以双曲线的标准方程为=1.
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.
因为点P,Q在双曲线上,
则解得
故双曲线的标准方程为=1.
例2.
跟踪训练2. 解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.
又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,
所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.
以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.
则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).
所以双曲线方程为=1(x>2),
BC的垂直平分线方程为x-y+7=0.
联立两方程解得x=8(舍负),y=5,
所以P(8,5),
kPA=tan∠PAx=,所以∠PAx=60°,
所以P点在A点的北偏东30°方向.
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1. 解析:当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|>|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,方程y2=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为|PF1|-|PF2|=2a,说明|PF1|>|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.
答案:D
2.解析:不妨设|AF2|>|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.
答案:C
3.解析:∵方程=1,∴(m-2)(m+1)<0,解得-1答案:D
4. 解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如图.
设以E,F为焦点且过点P的双曲线方程为=1,
焦点为E(-c,0),F(c,0).
由tan∠PEF=,tan∠EFP=-2,
设∠PFx=α,则tan α=tan(π-∠EFP)=2,
得直线PE和直线PF的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c).
联立两方程,解得x=c,y=c,
即P点坐标为.
∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高为点P的纵坐标,∴S△EFP=c2=12,∴c=3,即P点坐标为(5,4).
由两点间的距离公式|PE|==4,|PF|==2,
∴a=.又b2=c2-a2=4,
故所求双曲线的方程为=1.
5.解:(1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4,
又知焦点在x轴上,且c=5,
所以b2=c2-a2=25-16=9,
所以双曲线的标准方程为=1.
(2)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2.
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
则有a2+b2=c2=8,=1,
解得a2=3,b2=5.
故所求双曲线的标准方程为=1.
(3)当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为x2-y2=a2,将点(3,-1)代入,
得32-(-1)2=a2,
所以a2=b2=8.因此,所求的双曲线的标准方程为=1.
当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦点不可能在y轴上.
综上,所求双曲线的标准方程为=1.