4.2.2等差数列的前n项和公式（1）导学案

4.2.2等差数列的前n项和公式（1） 导学案
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(难点)
2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点)
3.掌握等差数列的前n项和的简单性质．(重点、难点)
重点： 等差数列的前n项和的应用
难点：等差数列前n项和公式的推导方法
等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn＝ Sn＝
功能1：已知a1，an和n，求Sn .
功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个.
一、新知探究
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100=？
你准备怎么算呢？
探究新知高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.
问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.
高斯的算法：
（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=
高斯的算法实际上解决了求等差数列：
1，2，3，…，前100项的和问题
等差数列中，下标和相等的两项和相等.
设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，…
如果数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*，
且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at
可得：
问题2： 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？
问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？
问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？
倒序求和法
二、典例解析
例6.已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7, =101,求；
（2）若a1=2, = ,求；
（3）若=，d= , = 5,求 ；
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn
这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，
便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
跟踪训练1　已知等差数列{an}．
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
例7.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。
1．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　)
A．20　　　　B．30 C．40 D．50
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5 B．7 C．9 D．11
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则(　　)
A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1
C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1
4．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.
5．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12.
参考答案：
知识梳理
学习过程
一、新知探究
等差数列中，下标和相等的两项和相等.
设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，…
如果数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*，
且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at
可得：
问题3： 需要对项数的奇偶进行分类讨论.
当n为偶数时，
+
当n为奇数数时， n－1为偶数
+
对于任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n
问题4：
将上述两式相加，得
所以
倒序求和法
.
二、典例解析
例6
分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用a1和的值求出d ，再利用公式 求和；（3）已知公式 中的，和，解方程即可求得
解：（1）因为a1=7, =101 ，根据公式，可得
=2700.
（2）因为a1=2, = ， 所以d= .根据公式 ，可得
=
（3）把=，d= , = 5代入 ，得
整理，得
解得或（舍）,所以
跟踪训练1　[解]　(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
又Sn＝na1＋d＝－5，
解得n＝15或n＝－4(舍)．
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
例7. 分析 可得到两个关于的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得
解
=310, =1220,
把它们代入公式
得
解方程组，得
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。
(法二)∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，
∴S30＝2 730.
(法三)设Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
由题意，得
解得
∴Sn＝3n2＋n.∴S30＝3×900＋30＝2 730.
(法四)由Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)，
∴是以a1为首项，为公差的等差数列，
∴，，成等差数列，
∴＋＝2×，
∴S30＝30＝30×(122－31)＝2 730.
达标检测
1．【答案】C　[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]
2．【答案】A　[由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.
∴a3＝1又∵S5＝＝＝5.]
3．【答案】B　[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，
当n＝1时，S1＝a1＝－1符合上式．
∴an＝－2n＋1.]
4．【答案】190　[S19＝＝＝190.]
5．【答案】∵Sn＝n·＋·－＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解之得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.