4.3.1等比数列的概念 (2) 导学案

4.3.1等比数列的概念 (2) 导学案
1. 能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题．
2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点)
重点：运用等比数列解决简单的实际问题
难点：等比数列的综合运用
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )．
符号语言：
2.等差与等比数列
一、典例解析
例4. 用 10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的
利息不少于按月结算的利息（精确到）？
一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．
跟踪训练1. 2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，
甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.
(1)哪一年两林场木材的总存量相等？
(2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？
例5. 已知数列的首项.
（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列.
是等差数列，则数列是等比数列；
2.若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列
例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
1．（2021·江苏南通市高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ ）
注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再传染个人为第二轮感染.
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2021·北京高二期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则 .
3.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值．
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
4.已知a,b,c,x,y,z都是不等于1的正数,且ax=by=cz,成等差数列.求证:a,b,c成等比数列.
参考答案：
知识梳理
学习过程
一、典例解析
例4. 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和, ，…构成等比数列.
解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，
则是等比数列，
首项，公比，
所以.
所以，12个月后的利息为（元）.
解：（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个
数列，则也是一个等比数列，
首项 ，公比为，
于是 .
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
元.
解不等式，得.
所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
跟踪训练1. 解：(1)由题意可得
16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，
解得n＝2，
故到2019年两林场木材的总存量相等．
(2)令n＝5，则a5＝16a4＋25a4<2(16a＋25a)，
故到2021年不能翻一番．
例5. 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。
证明（1）：由，，得的通项公式为
.
设，则 ：
，
又 ,
所以，是以 27为首项，9为公比的等比数列.
证明（2）：由, ,得
两边取以3为底的对数，得
所以 .又 ，
所以，是首项为1，公差为的等差数列.
例6.分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列，,则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，数列是等差数列,由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.
解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，由题意，知
，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
（ ）
由计算工具计算（精确到0.1），并列表
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且<100即可.
由 ，
得.
所以，当时，递减
又 <100,
所以当24时, <100
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
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1．【答案】B
【详解】设经过第轮传染，感染人数为， 经过第一轮感染后，，经过第二轮感染后，，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第轮传染，感染人数为，当时，解得，
因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮.
2．【答案】10
【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且
所以
.
3. 分析：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．
解:　(1)因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，
Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．
4.证明:令ax=by=cz=m(m>0).
则x=logam,于是=logma,同理=logmb,=logmc,
因为成等差数列,
所以,即2logmb=logma+logmc.
因此logmb2=logm(ac),故b2=ac.
所以a,b,c成等比数列.