4.4数学归纳法 导学案
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4.4数学归纳法 导学案
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
重点：用数学归纳法证明数学命题
难点：数学归纳法的原理.
数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立
归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,
推出“当n=k+1时命题也成立”
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
新知探究
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{}的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法-----数学归纳法
探究1. 已知数列{}满足， =
计算， ， ，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？
探究2. 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是 ”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
二二XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX、典例解析
例1.用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为的等差数列，那么，
= ①
对任何都成立.
用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
跟踪训练1求证:1-+…++…+(n∈N*).
例2已知数列,…,,…,计算S1,S2,S3,S4,根据
计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.
(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
跟踪训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是( )
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是( )
A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)
C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)
3.已知f(n)=1++…+(n∈N*),计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推测,当n>2时,有 .
4.用数学归纳法证明:+…+.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .
5.用数学归纳法证明:当n≥2,n∈N*时,(1-)…(1-)=.
参考答案：
知识梳理
学习过程
一、新知探究
探究1. 分析：计算可得 ， ， ，再结合 ，由此猜想： 如何证明这个猜想呢？
思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦。特别当取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。
问题2： 可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，
相邻的第k+1块也倒下。
探究2. （1）第一块骨牌倒下；
（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下
根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
（1）当n=1时猜想成立；
（2）若n=k时猜想成立, 即 ,
则当n=k+1时, = =1,猜想也成立，
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立.
所以，对于任意，猜想都成立，即数列{}的通项公式是 .
二、典例解析
例1.分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果时, ①式正确的，那么时①式也是正确的.
证明：（1）当时，左边，右边= ,①式成立.
（2）假设当()时， ①式成立，即
=
根据等差数列的定义，有
于是
即当时， ①式也成立
由（1）（2）可知， ①式对任何都成立
跟踪训练1证明:①当n=1时,左边=1-,右边=,所以等式成立.
②假设n=k(k∈N*)时,1-+…++…+成立.
那么当n=k+1时,
1-+…++…+
=+…++[]
=+…+,所以n=k+1时,等式也成立.
综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.
例2解:S1=;
S2=;
S3=;
S4=.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,
分母可用项数n表示为3n+1.
于是可以猜想Sn=.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当n=1时,左边=S1=,
右边=,
猜想成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,
即+…+,当n=k+1时,+…+,
所以,当n=k+1时猜想也成立.
根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.
跟踪训练2 解:由a1=2-a1,得a1=1;
由a1+a2=2×2-a2,得a2=;
由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=;
由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=.
猜想an=.
下面证明猜想正确:
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
(2)假设当n=k时猜想成立,
则有ak=,
当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=[2(k+1)-Sk]
=k+1-,
所以,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2)可知,an=对任意正整数n都成立.
达标检测
1.解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.
答案:C
2.解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),
所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.
答案:C
3．答案:f(2n)>
4.解析:从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为,前面的分母的底数是连续的整数,右边n=k+1时,式子为,即目标不等式为+…+.
答案:+…+
5.证明:(1)当n=2时,左边=1-,右边=,∴n=2时等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,
即(1-)(1-)(1-)…(1-)=,
那么当n=k+1时, (1-)(1-)(1-)…(1-)[1-]
=·[1-]=.
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
重点：用数学归纳法证明数学命题
难点：数学归纳法的原理.
数学归纳法的定义
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立
归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,
推出“当n=k+1时命题也成立”
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
新知探究
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{}的通项公式 等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法-----数学归纳法
探究1. 已知数列{}满足， =
计算， ， ，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？
探究2. 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是 ”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
二二XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX、典例解析
例1.用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为的等差数列，那么，
= ①
对任何都成立.
用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
跟踪训练1求证:1-+…++…+(n∈N*).
例2已知数列,…,,…,计算S1,S2,S3,S4,根据
计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.
(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.
③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
跟踪训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是( )
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是( )
A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)
C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)
3.已知f(n)=1++…+(n∈N*),计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推测,当n>2时,有 .
4.用数学归纳法证明:+…+.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .
5.用数学归纳法证明:当n≥2,n∈N*时,(1-)…(1-)=.
参考答案：
知识梳理
学习过程
一、新知探究
探究1. 分析：计算可得 ， ， ，再结合 ，由此猜想： 如何证明这个猜想呢？
思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦。特别当取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。
问题2： 可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，
相邻的第k+1块也倒下。
探究2. （1）第一块骨牌倒下；
（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下
根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
（1）当n=1时猜想成立；
（2）若n=k时猜想成立, 即 ,
则当n=k+1时, = =1,猜想也成立，
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立.
所以，对于任意，猜想都成立，即数列{}的通项公式是 .
二、典例解析
例1.分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果时, ①式正确的，那么时①式也是正确的.
证明：（1）当时，左边，右边= ,①式成立.
（2）假设当()时， ①式成立，即
=
根据等差数列的定义，有
于是
即当时， ①式也成立
由（1）（2）可知， ①式对任何都成立
跟踪训练1证明:①当n=1时,左边=1-,右边=,所以等式成立.
②假设n=k(k∈N*)时,1-+…++…+成立.
那么当n=k+1时,
1-+…++…+
=+…++[]
=+…+,所以n=k+1时,等式也成立.
综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.
例2解:S1=;
S2=;
S3=;
S4=.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,
分母可用项数n表示为3n+1.
于是可以猜想Sn=.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当n=1时,左边=S1=,
右边=,
猜想成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,
即+…+,当n=k+1时,+…+,
所以,当n=k+1时猜想也成立.
根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.
跟踪训练2 解:由a1=2-a1,得a1=1;
由a1+a2=2×2-a2,得a2=;
由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=;
由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=.
猜想an=.
下面证明猜想正确:
(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.
(2)假设当n=k时猜想成立,
则有ak=,
当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=[2(k+1)-Sk]
=k+1-,
所以,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2)可知,an=对任意正整数n都成立.
达标检测
1.解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.
答案:C
2.解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),
所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.
答案:C
3．答案:f(2n)>
4.解析:从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为,前面的分母的底数是连续的整数,右边n=k+1时,式子为,即目标不等式为+…+.
答案:+…+
5.证明:(1)当n=2时,左边=1-,右边=,∴n=2时等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,
即(1-)(1-)(1-)…(1-)=,
那么当n=k+1时, (1-)(1-)(1-)…(1-)[1-]
=·[1-]=.
∴当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.