§3.3 几何概型
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1初步体会模拟方法在概率方面的应用；
2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题。
重点难点
重点：借助模拟方法来估计某些事件发生的概率；几何概型的概念及应用，体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体
难点：设计和操作一些模拟试验，对从试验中得出的数据进行统计、分析；?应用随机数解决各种实际问题。
学习
过程
与方
法
自主学习
1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。
2.几何概型：
（1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在 的概率与G1的 成正比，而与G的 、 无关，即P(点M落在G1) =
,则称这种模型为几何概型。
（2）几何概型中G也可以是 或 的有限区域，相应的概率是 或
。
探索新知：
1.几何概型中事件A的概率是否与构成事件A的区域形状有关？
2．在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A) = 0,则A一定为不可能事件吗？
3.阅读p156 “问题提出”，你的结论是什么？
精讲互动
例1．在相距3m的两杆之间扯上一铁丝，小明洗完衣服后，将衣服挂在铁丝上晾晒，则所挂衣服与两杆的距离都不小于1m的概率有多大？
例2．（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则
（1）求这两个数的平方和不大于1的概率；
（2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。
达标训练
1. 课本p157 练习1 2
2. 教辅资料
作业
布置
习题3-3 1，2
学习小结/教学
反思
3.3.1 几何概型
教学目标：
1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：
P（A）=,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.
2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.
教学重点：
理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.
教学难点：
等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.
教学方法：
讲授法
课时安排：
1课时
教学过程：
一、导入新课：
1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?
2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.
二、新课讲授：
提出问题
(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？
(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？
(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?
(4)什么是几何概型?它有什么特点?
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?
(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?
活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.
讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为.
(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点.
第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任意一点.
在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.
考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的,
于是事件A发生的概率P(A)=.
第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为×π×1222 cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为×π×12.22 cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)==0.01.
(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.
(4)几何概型.
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型.
几何概型的基本特点：
a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
b.每个基本事件出现的可能性相等.
(5)几何概型的概率公式：
P（A）=.
(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.
三、例题讲解：
例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型.
（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;
（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.
活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.
解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.
点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.
例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.
分析：见教材136页
解：（略）
变式训练
1、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.
解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记Ag={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(Ag)=.
点评：通过实例初步体会几何概型的意义.
2、 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.
解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.
答：钻到油层面的概率是0.004.
四、课堂小结：
几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.
五、课后作业：
课本习题3.3A组1、2、3.
板书设计
课后反思：
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
双基达标 ?限时20分钟?
1．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域、在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为号 ( )．
A. B. C. D．无法计算
解析 由几何概型的概率公式知＝，所以S阴＝·S正＝.
答案 B
2．在第1题中若将100粒豆子随机撒入正方形中，恰有60粒豆子落在阴影区域内，这时阴影区域的面积约为 ( )．
A. B. C. D．无法计算
解析 因为＝，所以＝，所以S阴＝×4＝.
答案 A
3．下列概率模型中，几何概型的个数为 ( )．
①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；
②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；
③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；
④是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性．
答案 B
4．两根相距6 m的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是________．
解析 由已知得：P＝＝.
答案
5．如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．
解析 两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S矩形＝ab，S梯形＝(a＋a)·b＝ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为＝＝.
答案
6．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
解 记A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图，在边长为
4 cm的等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边
三角形三边距离都为1，则等边三角形A′B′C′的边长为
4－2＝2，由几何概率公式得：P(A)＝＝.
综合提高 ?限时25分钟?
7．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是
( )．
A. B. C. D.
解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.
答案 A
8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 如右图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是
等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|
＞”．即P(△PBC的面积大于)＝＝.
答案 C
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点，则该点落在三棱锥A1－ABC内的概率是________．
解析 本题为体积型几何概型问题，
P＝＝.
答案
10．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率是________．
解析 记事件A为“射线OA落在∠xOT内”，因为∠xOT＝60°，
周角为360°，故P(A)＝＝.
答案
11．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取一个数，b是从区间[0,2]任取一个数，求上述方程有实根的概率．
解 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，此方程有实根的条件是a≥b.
(1)全集Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，事件A＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)}，
故P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，而构成A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如图所示的阴影部分，
所以P(A)＝＝.
12．(创新拓展)国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
解 记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A发生就是在0到 min时间段内按错键．
P(A)＝＝.
课件22张PPT。【课标要求】
1．了解几何概型与古典概型的区别．
2．理解几何概型的定义及其特点．
3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．
?【核心扫描】
1．几何概型的特点及概念．(重点)
2．应用几何概型的概率公式求概率．(难点)
3．应用几何概型概率公式时需注意基本事件的形成过
程．(易错点)3.3.1 几何概型3.3 几何概型几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______
(_____或______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称_________．
概率公式
自学导引1．2．长度面积体积几何概型 几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？
提示 几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．几何概型概率的适用情况和计算步骤
(1)适用情况：
几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例．
?(2)计算步骤：
①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断．
②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点．
③利用概率公式计算．名师点睛1．几何概型的处理方法
有关几何概型的计算的首要任务是计算事件A包含的基本事件对应的区域的长度、角度、面积或体积，而这往往很困难，这是本节难点之一，实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型，把问题转化为各种几何概型问题，为此可以参考以下办法：①适当选择观察角度(原则是基本事件无限性、等可能性)；②把基本事件转化为与之对应的区域；③把随机事件A转化为与之对应的区域；④利用概率公式给出计算；⑤如果事件A的对应区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思考．2．题型一 与长度有关的几何概型 如图A，B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安【例1】装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？[思路探索] 在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件．规律方法 将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于1 m的概率为多大？
【变式1】 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率．
[思路探索] 海豚在水池中自由游弋，其位置有无限个，且在每个位置是等可能的，故这是几何概型问题，海豚游弋区域的面积与水池面积之比就是所求的概率．题型二 与面积有关的几何概型【例2】解 如图所示，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．
由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．
规律方法 此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率． 已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．【变式2】解 如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．
已知正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.
(1)求点M落在三棱锥B1－A1BC1内的概率；题型三 与体积、角度有关的几何概型【例3】审题指导 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间的度量关系，再利用相关公式求出其概率．【题后反思】 分清题中的条件，提炼出几何体的形状，并找出总体积是多少．以及所求的事件占有的几何体是什么几何体并计算出体积． 在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率．【变式3】解 如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处，使|AM|＞|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何概型的条件．
设事件D为“作射线CM，使|AM|＞|AC|”．
数形结合的思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决．方法技巧 数形结合思想
甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．
[思路分析] 甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x，y)就表示甲乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间，而能会面的时间由|x－y|≤15所对应的图中阴影部分表示．由于每人到达的时间都是随机的，所以正方形内每个点都是等可能被取到的(即基本事件等可能发生)，所以两人能会面的概率只与阴影部分的面积有关，这就转化成与面积有关的几何概型问题．【示例】方法点评 本题的难点是把两个时间分别用x、y两个坐标轴表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间这一个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题，这种方法是解决这类问题的常用手法，不失为一种好方法．单击此处进入 活页规范训练
