3.3.2 均匀随机数的产生
教学目标：
1.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；自觉养成动手、动脑的良好习惯.
2.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.学习时养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力.
教学重点：
掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.
教学难点：
利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.
教学方法：
讲授法
课时安排
1课时
教学过程：
一、导入新课
1、复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？
2、在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生.
二、新课讲授：
提出问题
(1)请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？
(2)请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？
(3)给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？
(4)请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.
(5)请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数.
(6)［a,b］上均匀随机数的产生.
活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.
讨论结果：
(1)在一个试验中如果
a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）
b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.
古典概型计算任何事件的概率计算公式为：P（A）=.
(2)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
几何概型的基本特点：
a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
b.每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型的概率公式：P（A）=.
(3)我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可.
(4)我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如下：
试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.
(5)a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.
b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50, B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.
(6)［a,b］上均匀随机数的产生：
利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,
然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均匀随机数,试验结果是［a,b］内任何一实数,并且是等可能的.
这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.
三、例题讲解：
例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
活动：用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算.
解法一：1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.
2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.
3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.
4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.
5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.
6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.
解法二：（见教材138页）
例2 在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.
解法1：（见教材139页）
解法2：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND（）.
（2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2.
（3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=（N代表落在正方形中的点（a,b）的个数）.
点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.
例3 利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.
解：（略）
四、课堂练习：
教材140页练习：1、2
五、课堂小结：
均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.
六、课后作业：
1、课本习题3.3B组题.
2、复习本章
板书设计
教学反思：
3.3.2 均匀随机数的产生（选学）
双基达标 ?限时20分钟?
1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为 ( )．
A．a＝a1*7 B.a＝a1*7+3 C. a =a1*7-3 D.a＝a1*4
解析 根据伸缩、平移变换a＝a1]
答案 C
2．在线段AB上任取三个点x1，x2，x3，则x2位于x1与x3之间的概率是 ( )．
A. B.
C. D．1
解析 因为x1，x2，x3是线段AB上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是.
答案 B
3．与均匀随机数特点不符的是 ( )．
A．它是[0,1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现的每一个实数都是等可能的
D．是随机数的平均数
解析 A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
答案 D
4.在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．
解析 作∠AOE＝∠BOD＝30°，如图所示，随机试验中，射线OC
可能落在扇面AOB内任意一条射线上，而要使∠AOC和∠BOC都不
小于30°，则OC落在扇面DOE内，
∴P(A)＝.
答案
5．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
解析 由|x|≤1，得－1≤x≤1.
由几何概型的概率求法知，所求的概率
P＝＝.
答案
6．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．
解 设事件A：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过伸缩变换x＝x1]N1,N)，即为概率P(A)的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形的面积为9，由几何概率公式得P(A)＝，所以≈.
所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
综合提高 ?限时25分钟?
7．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为 ( )．
A. B.
C. D．无法计算
解析 ∵＝，∴S阴影＝S正方形＝.
答案 B
8．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是 ( )．
A．一样大 B．蓝白区域大
C．红黄区域大 D．由指针转动圈数决定
解析 指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大．
答案 B
9．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
解析 以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．
∴P＝＝.
答案
10.一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机向靶掷飞镖30次，则飞镖落在阴影部分的次数约为________．
答案 5
11．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：
(1)小燕比小明先到校；
(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
解 记事件A“小燕比小明先到校”；记事件B“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．
利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；
②统计出试验总次数N及其中满足b＜c的次数N1，满足b＜c＜a的次数N2；
③计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为事件A，B的概率的近似值．
12．(创新拓展)如图所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)
解 法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据≈，即可求区域A面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A内的豆子数为700，则区域A的面积S≈＝0.7.
法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：
第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标．如果一个点的坐标满足y≥x2，就表示这个点落在区域A内．
第二步，统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N，可求得区域A的面积S≈.
课件18张PPT。【课标要求】
1．了解均匀随机数的产生方法与意义．
2．会用模拟试验求几何概型的概率．
3．能利用模拟试验估计不规则图形的面积．
【核心扫描】
1．会利用模拟试验估计概率．(重点)
2．会设计简单的模拟试验的设计方案．(难点)3.3.2 均匀随机数的产生（选学）均匀随机数定义：如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．
均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是______函数．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为rand()．
用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1) _________的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2) ___________的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．自学导引1．2．3．RAND试验模拟计算机模拟[a，b]上均匀随机数的产生
利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换x＝x1]
概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件也一定是必然事件吗？
提示 如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P＝0)，但它不是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P＝1)，但它不是必然事件．
4．均匀随机数的产生：(1)用计算器产生0～1之间的均匀随机数过程如图所示：名师点睛1．(2)用计算机产生均匀随机数的过程如下：Scilab中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数，每调用一次rand()函数，就产生一个随机数，如果要产生a～b之间的随机数，则使用变换rand()*(b－a)＋a得到．整数随机数与均匀随机数的联系与区别：
(1)二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现的机率是均等的．但是整数随机数是离散的单个整数值，相邻两个整数随机数的步长为1，而均匀随机数是个小数或整数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的．
(2)要产生[a，b]上的均匀随机数，利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x1＝RAND，然后利用伸缩和平移变换x＝x1]2．题型一 用随机模拟法估计几何概型 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
[思路探索] 利用计算器产生随机数的方法或利用随机模拟的方法解决．
解 法一 (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数，a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝a1*3;
(3)统计出［1，2］内随机数的个数N1和［0，3］内随机数的个数N；
【例1】(4)计算频率fn(A)= 即为概率P(A)的近似值.
规律方法 通过模拟试验求某事件发生的概率，不同于古典概型和几何概型试验求概率，前者只能得到概率的近似值，后者求得的是准确值．用模拟试验求概率近似值的步骤如下：第一步确定求均匀随机数的实数区间[a，b]；第二步用计算器或计算机求[0,1]内的均匀随机数；第三步用伸缩变换转化到[a，b]内的随机数；第四步确定试验次数N和事件A发生次数N，求得频率得出概率的近似值． 在长为4，宽为2的矩形中有一以矩形长为直径的半圆．
(1)随机撒一把豆子，计算豆子落入半圆的概率．
(2)利用计算机模拟的方法估计π值．【变式1】 如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．
题型二 利用随机模拟试验估计图形的面积【例2】审题指导 考查用随机模拟的方法求解．由于飞镖落在大正方形内的位置是随机的，有无限个，并且是等可能的，符合几何概型概率问题．【题后反思】 根据“无限性”与“等可能性”判定为几何概型．用模拟方法得到的事件A的概率与用几何概型计算得到的事件A的概率极其接近，说明模拟方法是一种非常有效而且广泛使用的方法，尤其是现实的试验难以实施或不可能实施的情况下，模拟方法可以给我们提供解决问题的方案． 在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．
解 因为正方形的面积只与边长有关，所以本题可转化为在线段AB上任取一点M使线段AM的长度介于6到9之间．设事件A＝{正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间}，则：
(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数，a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝a1*12;
(3)统计出试验总次数N和[6,9]内的随机数个数N1(即满足6
<9的个数)；【变式2】随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下几个方面考虑：
(1)确定产生随机数组数，如长度型，角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．方法技巧 利用随机模拟试验求不规则图形的面积 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．【示例】[思路分析] 在坐标系内画出正方形，用随
机模拟方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比，从而求得阴影部分的近似值．方法点评 (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时，一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率．
(2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算器或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．单击此处进入 活页规范训练