第三章复习
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
复习课
主备课人
学习
目标
1．掌握概率的基本性质
2．学会古典概型和几何概型简单运用
重点难点
重点 古典概型、几何概型的相关知识点
难点 古典概型、几何概型的具体应用
学习
过程
与方
法
自主学习
1.本章的知识建构如下：
2.概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；（巧妙的运用这一性质可以简化解题）
4）互斥事件与对立事件的区别与联系：我们可以说如果两个事件为对立事件则它们一定互斥，而互斥事件则不一定是对立事件
3.古典概型
（1）正确理解古典概型的两大特点：
1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=
4.几何概型
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
P（A）=；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
2）每个基本事件出现的可能性相等．
5.古典概型和几何概型的区别 相同：两者基本事件的发生都是等可能的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个.
精讲互动
例1、柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率
（1）取出的鞋子都是左脚的;
（2）取出的鞋子都是同一只脚的
（选作）变式：（1）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的；
（2）取出的鞋不成对
例2、取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？
达标训练
1. 课本p161 复习题三 A组：1 2 3 4 5 6
2. 教辅资料
作业
布置
1.复习题三 A组：7 、8、 9、 10 、11
2.教辅资料
学习小结/教学
反思
课件25张PPT。知识网络本章归纳整合本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．要点归纳1．2．3．对于几何概型事件概率的计算，关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解．
学习本章的过程中，要重视教材的基础作用，重视过程的学习，重视基本数学思想和数学方法的形成和发展，注意培养分析问题和解决问题的能力．
4．5．专题一 概率与频率根据概率的统计定义，我们可以由频率来估计概率，因此应理清频率与概率的关系，频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化，而概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率． 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答以下问题.
【例1】(1)完成上面表格；
(2)估计该油菜子发芽的概率约是多少？专题二 古典概型 某人一次同时抛出两枚均匀骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，
(1)求两枚骰子点数相同的概率；
(2)求两枚骰子点数之和为5的倍数的概率．
解 用(x，y)表示同时抛出的两枚均匀骰子中一枚骰子向上的点数是x，另一枚骰子向上的点数是y，则全部结果有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
即同时抛出两枚均匀骰子共有36种结果．
则同时抛出两枚均匀骰子的结果是有限个，属于古典概型．
【例2】 (2010·天津高考)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：【例3】其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率．
(2)从一等品零件中，随机抽取2个：
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂概率问题转化成较简单的基本事件的概率问题去解决或转化成求对立事件的概率问题，应用公式时一定要注意，首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率．专题三 概率的加法公式 现有8名2010广州亚运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语的志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，即由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
【例4】几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率．专题四 几何概型【例5】统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼、挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．专题五 概率与统计的综合问题 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．【例6】(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．数形结合思想在本章的应用很广泛，如用集合的关系与运算表示事件的关系与运算，用图表的形式表示一次试验的基本事件以及几何概型中画图表示问题中涉及的量，从而求出事件的概率．专题六 数形结合思想 设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．
解 利用平面直角坐标系列举，如图所示．【例7】近三年的高考数学试题对本章的考查主要是以生活中的概率问题为背景考查随机事件的概率，重点考查古典概型与几何概型两种概率模型概率的求法，特别是互斥事件和对立事件更是成为新的热点之一，而考查的形式也会多样化，选择题、填空题、解答题三种题型都能出现．
预测高考数学试题对本章的考查将继续坚持以上特点，并且将更多地与统计中的抽样方法相结合．
命题趋势单击此处进入 高考真题高考真题模块检测
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．描述总体离散程度或稳定性的特征数是总体方差σ2，以下统计量能描述总体稳定性的有( )．
A．样本均值 B．样本方差s2
C．样本的众数 D．样本的中位数
解析 样本方差用来衡量样本数据的波动大小，从而来估计总体的稳定程度．
答案 B
2．(2011·全国新课标)执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 ( )．
A．120 B．720
C．1 440 D．5 040
解析 执行程序输出1×2×3×4×5×6＝720.
答案 B
3.是x1，x2，…，x100的平均值，a1为x1，x2，…，x40的平均值，a2为x41，…，x100的平均值，则下列式子中正确的是 ( )．
A.＝ B.＝
C.＝a1＋a2 D.＝
解析 100个数的总和S＝100，也可用S＝40a1＋60a2来求，故有＝.
答案 A
4．(2011·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ( )．
A．－3 B．－ C. D．2
解析 因为该程序框图执行4次后结束，每次s的值分别是，－，－3,2，所以输出的s的值等于2，故选择D.
答案 D
5．为考察某个乡镇(共12个村)人口中癌症的发病率，决定对其进行样本分析，要从3 000人中抽取300人进行样本分析，应采用的抽样方法是 ( )．
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．有放回抽样
解析 需要分年龄段来考察，最好采取分层抽样．
答案 C
6．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其程序框图的是 ( )．
A．当n＝10时，利用公式1＋2＋…＋n＝计算1＋2＋3＋…＋10
B．当圆的面积已知时，求圆的半径
C．给定一个数x，求这个数的绝对值
D．求函数F(x)＝x2－3x－5的函数值
解析 C项需用到条件结构．
答案 C
7．最小二乘法的原理是 ( )．
A．使得yi－(a＋bxi)]最小
B．使得yi－(a＋bxi)2]最小
C．使得yi2－(a＋bxi)2]最小
D．使得yi－(a＋bxi)]2最小
解析 总体偏差最小，亦即yi－(a＋bxi)]2最小．
答案 D
8．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图为
记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为 ( )．
A．5 B．6 C．7 D．8
解析 由茎叶图可知＝7，解得x＝8.
答案 D
9．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 由几何概型的求法知所求的概率为＝.
答案 B
10．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是 ( )．
A．30 B．40 C．50 D．55
解析 频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，故新生婴儿的体重在[3.2,4.0)(kg)的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40.
答案 B
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为________．
解析 当x＝10时，y＝4，不满足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝
4.当x＝4时，y＝1，不满足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝1.当x
＝1时，y＝－，不满足|y－x|＜1，因此由x＝y知x＝－.当x＝
－时，y＝－，此时＜1成立，跳出循环，输出y＝－.
答案 －
12．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，以每人被抽取的概率为0.2，向该中学抽取了一个容量为n的样本，则n＝________.
解析 由＝0.2，得n＝200.
答案 200
13．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3∶4∶7，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中B型号产品有28件．那么此样本的容量n等于________．
解析 由题意知A、B、C三种不同型号产品的数量之比为3∶4∶7，样本中B型号产品有28件，则可推得分别抽取A、C两种型号产品21件、49件，所以n＝21＋28＋49＝98.
答案 98
14．袋里装有5个球，每个球都记有1～5中的一个号码，设号码为x的球质量为(x2－5x＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是________．
解析 设两球的号码分别是m、n，则有m2－5m＋30＝n2－5n＋30.所以m＋n＝5.而5个球中任意取两球的基本事件总数有＝10(种)．符合题意的只有两种，即两球的号码分别是1,4及2,3.所以P＝＝.
答案
三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)北京动物园在国庆节期间异常火爆，游客非常多，成人票20元一张，学生票10元一张，儿童票5元一张，假设有m个成人，n个学生，f个儿童，请编写一个程序完成售票的计费工作，并输出最后收入．
解 程序如下：
INPUT “m＝”；m
INPUT “n＝”；n
INPUT “f＝”；f
p=20*m+10*n+5*f
PRINT p
END
16．(10分)在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
解 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80
分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成
绩较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有
24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人
数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
17．(10分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个
球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2
和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．
因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号
为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，
(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事
件的概率为P1＝.
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.
18．(12分)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～
190 cm之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，
样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计
该校学生身高在170～185 cm之间的概率p1＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在
185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为：
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有
1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝＝ .
19．(12分)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，
将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁
以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以
上的概率为，求x、y的值．
解 (1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科
的人数为m，
∴＝，解得m＝3.
∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.
从中任取2人的所有基本事件共10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，
(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)．
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，
B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．
∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为.
(2)依题意得：＝，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.
∴＝＝.
解得x＝40，y＝5.∴x＝40，y＝5.
章末质量评估(三)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 P＝＝.
答案 B
2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 从4张卡片中取2张共有6种取法，其中一奇一偶的取法共4种，故P＝＝.
答案 C
3．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为 ( )．
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
解析 本题考查的是体积型几何概型．
答案 A
4．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 [2,3]占了整个区间[0,3]的，于是所求概率为.
答案 A
5．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是 ( )．
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个均互斥 D．任何两个均不互斥
答案 B
6．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )．
A. B. C. D.
解析 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a，b}，{a，c}，{b，c}．
答案 D
7．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是 ( )．
A．至多有2只不成对 B．恰有2只不成对
C．4只全部不成对 D．至少有2只不成对
解析 从4双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只不成对”，故选D.
答案 D
8．下列四个命题：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①正确；②当且仅当A与B互斥时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，②不正确；③P(A∪B∪C)不一定等于1，还可能小于1，∴③也不正确；④也不正确．例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{红球或黄球}，事件B＝{黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＝，P(B)＝，P(A)＋P(B)＝1.
答案 D
9．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 设“log2XY＝1”为事件A，则A包含的基本事件有3个，(1,2)，(2,4)，(3,6)，故P(A)＝＝.
答案 C
10．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径长度的概率为
( )．
A. B.
C. D.
解析 如图，当AA′长度等于半径时，A′位于B或C点，此时
∠BOC＝120°，
则优弧＝πR.
故所求概率P＝＝.
答案 B
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
解析 掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标共有6×6＝36(种)可能结果，其中落在圆内的点有8个(1,1)，(2,2)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，则所求的概率为＝.
答案
12.如图，靶子由三个半径为R,2R,3R的同心圆组成，如果你向靶子内随机地掷一支飞镖，命中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为p1，p2，p3，则p1∶p2∶p3＝________.
解析 p1∶p2∶p3＝πR2∶(π×4R2－πR2)∶(π×9R2－π×4R2)＝1∶
3∶5.
答案 1∶3∶5
13．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
解析 设保护区内有这种动物x只，每只动物被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝12 000.
答案 12 000
14．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是________．
解析 设这两个数为x，y则x＋y＜，如图所示：
由几何概型可知，
所求概率为1－＝.
答案
三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答对应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
解 从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为＋＝.
16．(10分)在区间[0,1]上任取三个实数x，y，z，事件A＝{(x，y，z)|x2＋y2＋z2＜1}．
(1)构造出此随机事件A对应的几何图形；
(2)利用此图形求事件A的概率．
解 (1)如图所示，在第一象限内，构造单位正方体OABC
－D′A′B′C′，以O为球心，以1为半径在第一象限
内的球，即为事件A.
(2)P(A)＝＝.
17．(10分)黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解 (1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知，有
P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，
P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′.根据互斥事件的加法公式，有
P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A、AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
∴任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
18．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则P(A)＝.
(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)＝1－3×＝.
19．(12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意＝，得a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
章末质量评估(三)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 P＝＝.
答案 B
2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 从4张卡片中取2张共有6种取法，其中一奇一偶的取法共4种，故P＝＝.
答案 C
3．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为 ( )．
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
解析 本题考查的是体积型几何概型．
答案 A
4．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 [2,3]占了整个区间[0,3]的，于是所求概率为.
答案 A
5．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是 ( )．
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个均互斥 D．任何两个均不互斥
答案 B
6．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )．
A. B. C. D.
解析 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a，b}，{a，c}，{b，c}．
答案 D
7．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是 ( )．
A．至多有2只不成对 B．恰有2只不成对
C．4只全部不成对 D．至少有2只不成对
解析 从4双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只不成对”，故选D.
答案 D
8．下列四个命题：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①正确；②当且仅当A与B互斥时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，②不正确；③P(A∪B∪C)不一定等于1，还可能小于1，∴③也不正确；④也不正确．例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{红球或黄球}，事件B＝{黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＝，P(B)＝，P(A)＋P(B)＝1.
答案 D
9．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的点数分别为X，Y，则log2XY＝1的概率为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 设“log2XY＝1”为事件A，则A包含的基本事件有3个，(1,2)，(2,4)，(3,6)，故P(A)＝＝.
答案 C
10．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径长度的概率为
( )．
A. B.
C. D.
解析 如图，当AA′长度等于半径时，A′位于B或C点，此时
∠BOC＝120°，
则优弧＝πR.
故所求概率P＝＝.
答案 B
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
解析 掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标共有6×6＝36(种)可能结果，其中落在圆内的点有8个(1,1)，(2,2)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，则所求的概率为＝.
答案
12.如图，靶子由三个半径为R,2R,3R的同心圆组成，如果你向靶子内随机地掷一支飞镖，命中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为p1，p2，p3，则p1∶p2∶p3＝________.
解析 p1∶p2∶p3＝πR2∶(π×4R2－πR2)∶(π×9R2－π×4R2)＝1∶
3∶5.
答案 1∶3∶5
13．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
解析 设保护区内有这种动物x只，每只动物被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝12 000.
答案 12 000
14．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是________．
解析 设这两个数为x，y则x＋y＜，如图所示：
由几何概型可知，
所求概率为1－＝.
答案
三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答对应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
解 从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为＋＝.
16．(10分)在区间[0,1]上任取三个实数x，y，z，事件A＝{(x，y，z)|x2＋y2＋z2＜1}．
(1)构造出此随机事件A对应的几何图形；
(2)利用此图形求事件A的概率．
解 (1)如图所示，在第一象限内，构造单位正方体OABC
－D′A′B′C′，以O为球心，以1为半径在第一象限
内的球，即为事件A.
(2)P(A)＝＝.
17．(10分)黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解 (1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知，有
P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，
P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′.根据互斥事件的加法公式，有
P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A、AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
∴任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
18．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则P(A)＝.
(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)＝1－3×＝.
19．(12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意＝，得a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.
