5.2.2导数的四则运算法则（ 导学案）

5.2.2导数的四则运算法则 导学案
1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用．
2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导．
重点：导数的四则运算法则
难点：运用导数的运算法则解决函数求导
导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝______________．
(2)积的导数
①[f(x)·g(x)]′＝____________________；
②[cf(x)]′＝________．
(3)商的导数
′＝___________________________
f′(x)±g′(x); f′(x)g(x)＋f(x)g′(x); cf′(x);
(g(x)≠0)
学习导引
在例2中，当=5时，这时，求关于的导数可以看成求函数 一般地，如何求两个函数和、差、积商的导数呢？
二、新知探究
探究1： 设计算与和有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？
探究:2： 设计算，它们是否相等？商的导数是否等于它们导数的商呢？
三、典例解析
例3.求下列函数的导数
（1）
（2）
例4.求下列函数的导数
（1）（2）
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
跟踪训练1 　求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋log3x； (2)y＝x3·ex； (3)y＝.
跟踪训练2 求下列函数的导数
（1）y＝tan x； （2）y＝2sin cos
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为所需费用（单位：元），为
求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
（1） 90；（2） 98
例6　(1)函数y＝3sin x在x＝处的切线斜率为________．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
①求f(1)＋f′(1)；
②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 (　　)
A．1　　　　B． C．－1 D．0
2. 已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 (　)
A. B. C. D.
3.如图有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)＝ (　　)
A． B．－ C． D．－或
4.求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；(4)y＝x2－sin cos.
参考答案：
知识梳理
学习过程
新知探究
探究1：设，因为
===
==
而= , = ,
所以=+
同样地，对于上述函数，=
探究:2：通过计算可知，= ，=
，同样地也不相等
典例解析
例3.解：（1）
（2）
例4.解：（1）
（2）
跟踪训练1 [解]　 (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．
(3)y′＝′＝
＝＝－.
跟踪训练2 解析：（1）y＝tan x＝，
故y′＝＝＝.
（2）y＝2sin cos ＝sin x，故y′＝cos x.
例5 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；
（1）因为所以，进化到纯净度为90时，净化费用的变化瞬时率是元/吨.
（2）因为所以进化到纯净度为90时,净化费用的变化瞬时率是1321元/吨.
例6　(1)[解析]　由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x，
所以函数在x＝处的切线斜率为3×cos＝.
[答案]　
(2)[解]　①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x， 得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，
故此时切线斜率为0，
问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，
即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
达标检测
1．解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
答案：A
2.解析：∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
答案：D　
3.解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，
图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，
此时a＝0，与题设不符合，
故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．
由图(3)知f′(0)＝0，
由根与系数的关系得
解得a＝－1.故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.
答案：B
4. [解]　(1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x.