5.3.2 函数的极值与最大(小)值（1）导学案

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） 导学案
1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.
2．初步掌握求函数极值的方法．
3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．
重点：求函数极值
难点：函数极值与导数的关系
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_______，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，_____叫做函数y＝f (x)的极小值．
0 ;f ′(x)＜0;f ′(x)＞0;f (a)
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_______，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，______叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为_____．
0 ;f ′(x)＞0;f ′(x)＜0;f (b);极值点 ;极值
1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
一、新知探究
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
以a，b为例进行说明.
探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？
二、典例解析
例5. 求函数的极值.
问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？
一般地，求函数y＝fx的极值的步骤
求出函数的定义域及导数f′x；
解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；
用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
问题2：导数为0的点一定是极值点吗？
问题思考
跟踪训练1 求下列函数的极值：
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2.
1.函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　)
A．在(1，2)上函数f (x)为增函数
B．在(3，4)上函数f (x)为减函数
C．在(1，3)上函数f (x)有极大值
D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点
2．设函数f (x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f (x)的极大值点
B．x＝1为f (x)的极小值点
C．x＝－1为f (x)的极大值点
D．x＝－1为f (x)的极小值点
3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
4．已知函数f (x)＝2ef ′(e)ln x－，则函数f (x)的极大值为______．
求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值 ．
参考答案：
知识梳理
1． C　[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，
在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
学习过程
新知探究
探究1：放大,如图，可以看出，在的附近，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有.
探究2：（1）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，而且在点附近的左侧，右侧;
（2）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，而且在点附近的左侧，右侧
典例解析
例5. 解：因为 的定义域为R，所以
令0,解得：
当变化时， ，的变化情况如下表
因此，当时，有极大值，极大值为=
当时，有极小值，极小值为=- .
函数的图像如图所示.
问题2： [提示]　不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，
但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，
要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，
还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．
跟踪训练1 [解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)
y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 无极值 ↗ 极大值 108 ↘ 极小值0 ↗
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.
达标检测
1.D　[由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，
当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，
∴x＝2是函数f (x)的极大值点，
x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]
2． D　[令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0.故当x＝－1时，f (x)取得极小值．]
3． (－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]
4． 2ln 2　[f ′(x)＝－，故f ′(e)＝－，
解得f ′(e)＝，所以f (x)＝2ln x－，f ′(x)＝－.
由f ′(x)＞0得0＜x＜2e，f ′(x)＜0得x＞2e.
所以函数f (x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，
故f (x)的极大值为f (2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2.]
故f (x)的极大值为f (2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2.]