6.3.1 平面向量基本定理 学案（含解析）

6.3.1 平面向量基本定理
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1. 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。（重点） 2. 掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。（重点） 1.数学运算; 2.数学抽象
【自主学面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
思考：基底有什么特点？平面内基底唯一吗？
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)基底中的向量不能为零向量．(　　)
(2)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则必有a＝c，b＝d.(　　)
(3)若两个向量的夹角为θ，则当|cosθ|＝1时，两个向量共线．(　　)
(4)若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是60°.(　　)
(5)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(　　)
(6)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.　(　　)
【经典例题】
题型一 平面向量基本定理的理解
点拨：(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
(3)一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
例1 如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　 　)
①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝.
④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② 　　 B．②③　　
C．③④　　 D．②
【跟踪训练】1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
题型二 用基底表示平面向量
点拨：方法1：运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
方法2：通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．　
例2 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以{a，b}为基底表示，.
【跟踪训练】2 如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，用向量a、b表示.
分析: 通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解λ1，λ2.
【当堂达标】
1.下列说法中，正确说法的个数是(　 　)
①在△ABC中，，可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3
2.如图在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
A.(5e1＋3e2)　　　　　　 B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　 　)
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
4.已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
5.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝ .
6.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.
【参考答案】
【自主学习】
不共线向量 a＝λ1e1＋λ2e2
思考：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．
【小试牛刀】
(1) ×　(2)×　(3)√　(4)√ (5) × (6)√
【经典例题】
例1 B [解析]　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B．
【跟踪训练】1 ③ 解析：①设e1＋e2＝λe1，则无解，所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．
③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．
例2 解：连接FA，DF.因为AD∥BC，且AD＝BC，所以＝＝b，所以＝＝b.
因为＝，所以＝b，所以＝－＝a－b.所以＝＋＝－－＝－b－＝b－a，
＝＋＝－(＋)＝－＝b－a.
【跟踪训练】2 [解]　∵＝＋，＝＋，
设＝m，＝n，则＝＋m＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝(1－n)b＋na.
∵a与b不共线，∴∴n＝.
∴＝a＋b.
【当堂达标】
1.C 解析：①③正确，②错误．
2.A 解析：选A.＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
3.A [解析]　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋OB．∴x＝，y＝.
4.A 解析：选A.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2.
5. 3 解析：∵e1，e2不共线，∴，解得　∴x－y＝3.
6.解：法一：设AC，BD交于点O，则有＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，＝＋＝a＋b.
法二：设＝x，＝y，则＝＝y，
又所以解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.