6.4.1-6.4.2 向量在物理中的应用举例 学案（含解析）

6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题． 2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法和步骤． 1.数学运算; 2.数学抽象； 3.数学建模.
【自主学习】
一．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
1.建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 ．
2.通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
3.把运算结果“翻译”成几何关系．
二．向量在物理中的应用
1.物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 ．
2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 ．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算．
3.力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)．
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若∥，则直线AB与直线CD平行．(　 　)
(2)若四边形ABCD是矩形，则必有·＝0.(　 　)
(3)力的合成与分解体现了向量的加减运算．(　 　)
(4)动量mv是数乘向量．(　 　)
(5)功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.(　 　)
【经典例题】
题型一 向量在平面几何中的应用
点拨：向量法解决平面几何问题的两种方法
1.基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
2.坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.
例1 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.求对角线AC的长．
分析：本题是求线段长度的问题，转化为求向量的模来解决．
【跟踪训练】1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
题型二 向量在物理中的应用
例2 用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为 。
【跟踪训练】2已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
【当堂达标】
1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是(　 　)
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
2.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　 　)
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
3.已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
4.在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则·＝ .
5.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC．
求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．
6.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
【参考答案】
【自主学习】
向量 向量问题 向量运算 向量 加减法运算
【小试牛刀】
(1) × (2) √ (3) √ (4) √ (5) √
【经典例题】
例1 解 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，①
∴||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.
∵由①得2a·b＝1.
∴||2＝6，∴||＝，即AC＝.
【跟踪训练】1 [证明]　证法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
证法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
例2 10N 解析：如图，由题意得||＝||，∠AOB＝120°，||＝10 N，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则四边形OACB为菱形且∠CAO＝60°，＝＋，||＝||＝10 N，所以||＝||＝10 N.
【跟踪训练】2解：(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．
所以合力F对质点所做的功为－102 J.
【当堂达标】
1.B 解析：∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．
2.D 解析：由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又·＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D．
3.B 解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．故选B.
4.16 解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4，∠ABC＝45°，∴·＝4×4×cos45°＝16.
5. 解 (1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.∴||2＝2＝(a＋b)2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
∵cosθ＝＝＝＝＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°
6.解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，该帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2，由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，
所以|v|＝＝20(km/h)．
因为tanα＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，
所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.