7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案（含答案）

7.1.1　数系的扩充和复数的概念
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程； 2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念； 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 1.数学运算; 2.数学抽象
【自主学习】
一．复数的有关概念
1.复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝ ．
2.复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
3.复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
二．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当 且 ．
三．复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
(2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.(　　)
(3)若b为实数，则z= bi必为纯虚数．(　　)
(4)实数集与复数集的交集是实数集．(　　)
2.若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝(　　)
A．－1 B．1 C．±1 D．不存在
【经典例题】
题型一 复数的概念
点拨:(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实数，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可．
例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：
4, 2－3i，－＋i, 5＋i, 6i.
【跟踪训练】1若a∈R，i为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数”的(　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
题型二 复数的分类
点拨：解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.　
例2 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
【跟踪训练】2当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i：
(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？
题型三 复数相等
点拨：复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．
注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．　
例3 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值。
【跟踪训练】3若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
【当堂达标】
1.下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2.若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有(　　)
A．b＝0　　　　　　　　 B．a＝0且b≠0
C．a＝0或b＝0 D．ab≠0
3.若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值等于____________．
4.已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝________．
5.已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
6.已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(m∈R)．
(1)若复数z是实数，求实数m的值；
(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；
(4)若复数z是0，求实数m的值．
【参考答案】
【自主学习】
虚数单位 －1 z＝a＋bi(a，b∈R) a＝c b＝d
【小试牛刀】
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.C 解析：(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，所以a＝±1.
【经典例题】
例1 解析：4,2－3i，－＋i,5＋i,6i的实部分别是4,2，－，5,0；虚部分别是0，－3，，，6.其中4是实数；2－3i，－＋i,5＋i,6i是虚数，其中6i是纯虚数．
【跟踪训练】1 C 当a＝1时，复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i＝4i为纯虚数，当复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数时，a＝1或a＝－2.
例2
【跟踪训练】2 解　(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
例3 解 (1)由复数相等的充要条件，得解得
(2)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，
可得解得或所以a＝±.
【跟踪训练】3解 设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以解得a＝11或－.
【当堂达标】
1.A 解析：选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的.
2.B 解析：z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.
3. －3 解析：因为z＜0，所以解得m＝－3.
4. 3 解析：因为x∈R，所以∈R，由复数相等的条件得解得x＝3.
5.解：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以即所以a＝－1.
6.解：(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，所以m＝5或－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．所以m≠5且m≠－3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．
(3)当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.
(4)当时，复数z是0，所以m＝－3.