8.6.1 直线与直线垂直 学案（含解析）

8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角； 2.异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明； 3.求两异面直线所成的角． 1.直观想象; 2.逻辑推理； 3.数学运算
【自主学习】
一．异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线
与 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.异面直线所成角的范围为(0°，90°]，
思考：在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？
二．空间两直线垂直
如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作 .
【小试牛刀】
1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A．共面　　　 B．平行
C．异面 D．平行或异面
2.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为 .
【经典例题】
题型一 异面直线所成的角
点拨：求两异面直线所成的角的三个步骤
1.作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2.证：证明作出的角就是要求的角；
3.计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
例1 如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
【跟踪训练】1 如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．
题型二 直线与直线垂直的证明
点拨：(1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.
(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线.
例2 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1．
【跟踪训练】2 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D.
【当堂达标】
1.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　 　)
A．　　 B．　 　C．　 　 D．
3.若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 .
4.已知正方体ABCD A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
5.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝，则异面直线AD、BC所成角的大小是 .
6.如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
【课堂小结】
一、知识必备
1.异面直线所成角、线线垂直概念．
2.计算异面直线所成角大小的方法．
二、方法必备
1．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
2．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
【参考答案】
【自主学习】
a′ b′ 直角 a⊥b
思考：根据等角定理可知，异面直线a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．
【小试牛刀】
1.D 解析：若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．
2. 65° 解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.
【经典例题】
例1 解析： (1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．
【跟踪训练】1 解：如图，取AC中点F，连接DF、EF，在△PAC中，
∵D是PC中点，F是AC中点，
∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．
在△DEF中，DE＝3，
又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2.
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
例2 证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以BC＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1C＋BC，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1．
【跟踪训练】2 证明：如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，
连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
【当堂达标】
1.B 解析：取A1B1中点I，连接IG，IH，则EFIG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.
2.C 解析：如图，连接BD1交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.
易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD或其补角为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，
DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1．OD＝DB1＝.
于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
3.45°
4.(1)60°　(2)45°　解析：(1)连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，
(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°.
5. 60° 解析：设G为AC的中点，如图，连接EG，FG，因为E、F分别是AB、CD中点，∴EG∥BC，EG＝BC＝1，FG∥AD，FG＝AD＝1，所以∠EGF为异面直线AD、BC所成的角(或其补角)，∵EF＝，∴三角形EGF中，cos∠EGF＝－，∴∠EGF＝120°，即异面直线AD、BC所成的角为60°.
6.解：因为D、E分别是VB、VC的中点，
所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，
所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，
于是∠ABC＝45°，
故异面直线DE与AB所成的角为45°.