8.6.3 平面与平面垂直 学案（含解析）

8.6.3 平面与平面垂直
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小． 2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系． 3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化． 1.直观想象; 2.逻辑推理； 3.数学运算
【自主学习】
一．二面角
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角． 这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． 如图，记作：二面角α－l－β或二面角P－AB－Q或二面角P－l－Q
范围
二．二面角的平面角
文字语言 在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角
图形语言
符号语言 α∩β＝l，O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l ∠AOB为二面角α－l－β的平面角
思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
三．平面与平面垂直及判定定理
定义 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β
画法 通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：
判定定理 文字表述：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号表示：
四．平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直 ②作面的垂线
对面面垂直的性质定理的理解
（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(　　)
(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.(　　)
(3)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.（　　）
(4)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.（　　）
(5)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.（　　）
2.如图所示的二面角可记为(　　)
A．α β l B．M l N C．l M N D．l β α
【经典例题】
题型一　求二面角
点拨；求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”
例1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)求二面角D′－AB－D的大小；
(2)求二面角A′－AB－D的大小．
【跟踪训练】1如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小．
题型二 平面与平面垂直的判定
点拨:证明面面垂直常用的方法
1.定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
2.判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；
3.性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
例2 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．
求证：平面PAC⊥平面PBC.
【跟踪训练】2 如图，在四棱锥P ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形.求证：平面PAC⊥平面PBD.
题型三 面面垂直性质定理的应用
点拨：若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.　
例3 如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC． 求证：BC⊥AB．
【跟踪训练】3 如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求证：AE∥平面BCD.
题型四 线线、线面、面面垂直的综合应用
点拨：垂直问题转化关系如下所示：
例4 如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
【跟踪训练】4 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
（1）DE＝DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA.
【当堂达标】
1.直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直
2.(多选题)已知l⊥平面α，直线m 平面β，则下列命题正确的有(　　)
A．α∥β l⊥m B．α⊥β l∥m C．l∥m α⊥β D．l⊥m α∥β
3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)
A．60° B．30° C．45° D．15°
4..已知PA⊥矩形ABCD所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有
　　　　对.
5.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA＝，AB＝1，BC＝2，AC＝，求二面角P－CD－B的大小．
6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.
【课堂小结】
【参考答案】
【自主学习】
0°≤θ≤180°
思考：无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
α⊥β a⊥β
【小试牛刀】
1. (1)√　(2)√ (3) × 　(4)√ (5) ×　
2.B解析：根据二面角的记法规则可知B正确．
【经典例题】
例1 解 (1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角．
又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.
【跟踪训练】1 解：因为AC⊥平面 BCD，BD 平面 BCD，
所以BD⊥AC．又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面 ACD．
因为AD 平面 ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．
在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
例2 证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.
由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A.PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.
【跟踪训练】2证明　因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥PA.
因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
又因为BD 平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.
例3 证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面PAB，∴AD⊥平面PBC．
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，
BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，
∴BC⊥平面PAB．
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB．
【跟踪训练】3证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，
因为BD＝CD，所以DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC，DM 平面BCD，两平面交线为BC，
所以DM⊥平面ABC，
又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.
又因为AE 平面BCD，DM 平面BCD，
所以AE∥平面BCD.
例4 证明：（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，
所以PA⊥底面ABCD.
（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.
因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
【跟踪训练】4 证明：（1）如图，取EC的中点F，连接DF.
因为EC⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以EC⊥BC.
同理可得BD⊥AB，
易知DF∥BC，所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
因为EF＝EC，EC＝2BD，所以EF＝BD.
又FD＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA.
（2）取CA的中点N，连接MN，BN，MN∥EC，且MN＝EC.
因为EC∥BD，BD＝EC，
所以MN∥BD，MN=BD，
所以N点在平面BDM内.
因为EC⊥平面ABC，
所以EC⊥BN.
又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.
因为BN在平面MNBD内，
所以平面MNBD⊥平面ECA，
即平面BDM⊥平面ECA.
（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，
所以DM⊥平面ECA.
又DM 平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
【当堂达标】
1.C解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C．
2.AC解析：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m β，∴l⊥m，故A正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m β，∴α⊥β，故C正确．
3.C 解析：易得BC⊥平面PAC，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角，在Rt△PAC中，PA＝AC，所以∠PCA＝45°.故选C.
4. 5 解析：因为DA⊥AB，DA⊥PA，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，所以DC⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对.
5.解析：∵AB＝1，BC＝2，AC＝，∴BC2＝AB2＋AC2，
∴∠BAC＝90°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD.
又∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
又∵PC 平面PAC，∴PC⊥CD，
∠PCA是二面角P－CD－B的平面角．
在Rt△PAC中，PA⊥AC，PA＝，AC＝，
∴∠PCA＝45°.
故二面角P－CD－B的大小为45°.
6.证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1 平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1 平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.