第七章 7.1.1 条件概率(共61张PPT)

(共61张PPT)
第七章　§7.1　条件概率与全概率公式
7.1.1　条件概率
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.结合古典概型，了解条件概率的定义.
2.掌握条件概率的计算方法.
3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一　条件概率的概念
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.
思考　P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？
知识点二　概率乘法公式
对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝ 为概率的乘法公式.
P(A)P(B|A)
知识点三　条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝ .
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ .
1
P(B|A)＋P(C|A)
1－P(B|A)
1.在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B).(　　)
2.对事件A，B，有P(B|A)＝P(A|B).(　　)
3.若P(B|A)＝P(B)，则事件A，B相互独立.(　　)
4.P(B|A)相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率.(　　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
一、条件概率的定义及计算
命题角度1　利用定义求条件概率
例1　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，
则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
解　方法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，
方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
反思感悟
利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A).
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝ ，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生.
跟踪训练1　从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率.
解　设A＝“抽到的两张都是假钞”，
B＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，
则所求概率为P(A|B).
命题角度2　缩小样本空间求条件概率
例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，
甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个.
在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，
延伸探究
1.在本例条件下，求乙抽到偶数的概率.
解　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，
2.若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A).
解　甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，
其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个.
反思感悟
利用缩小样本空间法求条件概率的方法
(1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.
(2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件.
跟踪训练2　抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率.
解　n(A)＝6×2＝12.
由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10，
其中n(AB)＝6.
二、概率的乘法公式
例3　一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次.求：
(1)第一次取得白球的概率；
解　设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
反思感悟
概率的乘法公式
(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想.
(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.
跟踪训练3　已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率.
解　设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，
则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.
即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
三、条件概率的性质及应用
例4　在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
解　记事件A为“该考生6道题全答对”，
事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，
事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，
事件D为“该考生在这次考试中通过”，
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，
则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，
可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
反思感悟
条件概率的性质及应用
(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”.
(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
跟踪训练4　有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或
黑色的概率为___.
解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，
事件B为“另一瓶是红色”，
事件C为“另一瓶是黑色”，
事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C且B与C互斥.
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
3
随堂演练
PART THREE
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√
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2.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是
A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.285
√
解析　记事件A为“甲厂产品”，
事件B为“合格产品”，
则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
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3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
√
4.投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和小于等于
6的概率为___.
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解析　设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，
B＝“两颗骰子点数之和小于等于6”，
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1.知识清单：
(1)条件概率：P(B|A)＝ .
(2)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B).
(3)条件概率的性质.
2.方法归纳：转化化归、对立统一.
3.常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
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课时对点练
PART FOUR
基础巩固
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3.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是
√
解析　记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，
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4.某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是
A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6
√
解析　记“数学不及格”为事件A，
所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.
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5.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数互不相同”，B＝“出现一个5点”，则P(B|A)等于
√
解析　出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，
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6.袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，
则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是____，两次都取到白球的概率是_____.
解析　第一次取到白球，则还剩下4个小球，2个白球，2个黑球，
7.设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是_____.
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0.5
解析　设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，
又P(AB)＝P(B)，
8.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是______.
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0.72
解析　“种子发芽”为事件A，
“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活才成长为幼苗)，
则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，
所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
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9.某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
解　设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”.
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(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.
解　方法一　要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B).
不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择.
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10.设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数.
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
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解　方程有实根，Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，
又b，c∈{1,2,3,4,5,6}，
∴当b＝2时，c＝1，
当b＝3时，c＝1,2，
当b＝4时，c＝1,2,3,4，
当b＝5时，c＝1,2,3,4,5,6，
当b＝6时，c＝1,2,3,4,5,6，
共19种情况.
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(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率.
解　把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，
满足b2≥4c的有序数对记为(b，c)，
则事件A包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，
事件AB包含的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种，
综合运用
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11.7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是
√
解析　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在最右端”为事件B，
12.已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为
A.75% B.96% C.72% D.78.125%
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解析　记“任选一件产品是合格品”为事件A，
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记“任选一件产品是一级品”为事件B，
由于一级品必是合格品，
所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B).
由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%，
故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%.
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13.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取1支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为
√
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解析　记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2).
由题意可知，要求的概率为P(A2|A1).
14.某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为_____.
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0.4
解析　记“射中第一个目标”为事件A，
“射中第二个目标”为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，
即这个选手过关的概率为0.4.
拓广探究
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15.从1～100共100个正整数中任取一数，已知取出的一个数不大于50，
则此数是2或3的倍数的概率为____.
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解析　设事件C为“取出的数不大于50”，
事件A为“取出的数是2的倍数”，
事件B是“取出的数是3的倍数”，
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16.如图，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率.
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解　设事件A＝“任取的三个数中有a22”，
事件B＝“三个数至少有两个数位于同行或同列”，