第七章 7.4.2 超几何分布(共65张PPT)

(共65张PPT)
7.4.2　超几何分布
第七章　§7.4　二项分布与超几何分布
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解超几何分布.
2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
1.定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
2.均值：E(X)＝ .
知识点　超几何分布
1.超几何分布是不放回抽样.(　　)
2.超几何分布的总体是只有两类物品.(　　)
3.超几何分布与二项分布的均值相同.(　　)
4.超几何分布与二项分布没有任何联系.(　　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
√
√
√
×
2
题型探究
PART TWO
一、超几何分布的辨析
例1　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
解　样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
解　符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列.
解　没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题.
反思感悟
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
跟踪训练1　(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有
A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到
　的次品数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲
　型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为
　随机变量X
D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
√
√
√
解析　依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布.
而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，
故随机变量X不服从超几何分布.
二、超几何分布的概率
例2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
解　由题意知，参加集训的男生、女生各有6人.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列.
解　根据题意，知X的所有的可能取值为1,2,3.
所以X的分布列为
反思感悟
求超几何分布的分布列的步骤
跟踪训练2　现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为 .
(1)求7名学生中甲班的学生数；
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去).
∴7名学生中甲班的学生共有3人.
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率.
解　由题意可知，ξ服从超几何分布.
三、超几何分布与二项分布间的关系
例3　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
解　质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
解　质量超过505克的产品数量为12件，
则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布.
∴X的分布列为
∴X的均值为
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
从流水线上任取2件产品互不影响，
该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，
∴Y的分布列为
反思感悟
二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布.
区别 ①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)
跟踪训练3　(1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；
有放回的取出5件，相当于5重伯努利试验，
故ξ～B(5,0.1)，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P 0.590 49 0.328 05 0.072 9 0.008 1 0.000 45 0.000 01
(2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列.
解　由于商品数量较大，从中只抽取5件，
故η的分布列近似地为ξ的分布列.
3
随堂演练
PART THREE
1.(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是
A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出
　女生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸
　出黑球时的总次数
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√
√
√
解析　由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.
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2.在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是
√
解析　记X为2张中的中奖数，
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5
3.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为
√
解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，
1
2
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5
4.盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白
球的个数为ξ，则E(ξ)＝____.
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5
5.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取____时，对应的概
率为 .
3
解析　由题意可知，X服从超几何分布，
1.知识清单：
(1)超几何分布的概念及特征.
(2)超几何分布的均值.
(3)超几何分布与二项分布的区别与联系.
2.方法归纳：类比.
3.常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
4
课时对点练
PART FOUR
1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是
基础巩固
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√
2.一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取
2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于 的是
A.P(0C.P(X＝1) D.P(X＝2)
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√
解析　本题相当于求至多取出1个白球的概率，
即取到1个白球或没有取到白球的概率.
3.有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是
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√
解析　设抽到的次品数为X，
则有N件产品，其中有M件次品，
从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，
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4.在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为
√
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解析　正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，
由超几何分布的概率公式可知，
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5.一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为
√
解析　设抽到的次品数为X，
则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.
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6.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手
机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝____.
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7.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个
数，则P(X<2)＝____，随机变量X的均值E(X)＝____.
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解析　X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，
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0.6
8.数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2
道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是___.
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解析　设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，
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9.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
(1)求ξ的分布列；
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解　ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，
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所以，ξ的分布列为
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(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
解　由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为
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10.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
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解　设任取一件产品是二等品的概率为p，
依题意有P(A)＝p2＝0.04，
解得p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)，
故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.
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(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列.
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解　若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，
故X的可能取值为0,1,2.
所以X的分布列为
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综合运用
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11.(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为 ，则a等于
A.1 B.2 C.4 D.8
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√
√
整理，得a2－10a＋16＝0，
解得a＝2或8.
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12.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是 的事件为
A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的
C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的
√
解析　设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
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13.一只袋内装有m个白球，(n－m)个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，
则下列概率等于 的是
A.P(X＝3) B.P(X≥2)
C.P(X≤3) D.P(X＝2)
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√
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而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，
此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，
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14.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对
6个，则甲通过自主招生初试的概率为____，记甲答对试题的个数为X，
则X的均值E(X)＝___.
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解析　依题意，甲能通过的概率为
拓广探究
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15.50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为____.
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16.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数为X的分布列；
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那么从10件产品中任取3件，
∴随机变量X的分布列为
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(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
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解　设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)