第八章 8.2 一元线性回归模型及其应用(共78张PPT)

(共78张PPT)
§8.2　一元线性回归模型及其应用
第八章　成对数据的统计分析
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计
意义.
2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计
方法.
3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
称 为Y关于x的一元线性回归模型.其中Y称为_______
或 ，x称为 或 ， 称为截距参数， 称为斜率参数；e是 与 之间的随机误差，如果e＝ ，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述.
知识点一　一元线性回归模型
因变量
响应变量
自变量
解释变量
a
b
Y
bx＋a
0
知识点二　最小二乘法
思考1　经验回归方程一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一点吗？
答案　不一定.
思考2　点( )在经验回归直线上吗？
答案　在.
知识点三　残差与残差分析
1.残差
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ，通过经验回归方程得到的 称为 ， 减去 称为残差.
2.残差分析
是随机误差的估计结果，通过对 的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
观测值
预测值
观测值
预测值
残差
残差
知识点四　对模型刻画数据效果的分析
1.残差图法
在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以 ，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系.
2.残差平方和法
残差平方和 越小，模型的拟合效果越好.
横轴为对称轴的水平带状
区域内
3.R2法
大
小
思考　利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？
答案　不一定，他只是真实值的一个预测估计值.
1.求经验回归方程前可以不进行相关性检验.(　　)
2.在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号.(　　)
3.利用经验回归方程求出的值是准确值.(　　)
4.残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好.(　　)
5.R2越小，线性回归模型的拟合效果越好.(　　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
√
√
×
×
×
2
题型探究
PART TWO
一、求经验回归方程
例1　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图；
解　散点图如图所示：
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程 ；
(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.
即预测记忆力为9的同学的判断力为4.
反思感悟
求经验回归方程可分如下四步来完成
(4)写：写出经验回归方程.
跟踪训练1　随着我国经济的发展，居民储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10
(2)用所求经验回归方程预测该地区2021年(t＝7)的人民币储蓄存款.
年份 2015 2016 2017 2018 2019
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10
所以预测该地区2021年的人民币储蓄存款为12千亿元.
例2　已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
二、线性回归分析
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y关于x的经验回归方程，并借助残差平方和和R2说明回归模型拟合效果的好坏.
列出残差表：
所以回归模型的拟合效果很好.
反思感悟
刻画回归效果的三种方法
(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适.
跟踪训练2　为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求经验回归方程；
解　散点图如图.
(2)求出R2;
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
解　残差表如下：
所以回归模型的拟合效果很好.
(3)进行残差分析.
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
解　由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有，则需要纠正数据，重新建立回归模型；
由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与重量成线性关系.
三、非线性回归
例3　下表为收集到的一组数据：
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
解　作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数型曲线y＝c1 的周围，其中c1，c2为待定的参数.
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
解　对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，
则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，
这样就可以利用经验回归模型来建立y与x之间的非线性经验回归方程了，数据可以转化为
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
残差表如下：
yi 7 11 21 24 66 115 325
6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325
0.557 －0.101 1.875 －8.950 9.23 －13.381 34.675
(3)利用所得模型，预测x＝40时y的值.
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
反思感悟
非线性回归问题的处理方法
(1)指数函数型y＝ebx＋a
①函数y＝ebx＋a的图象，如图所示；
②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
(2)对数函数型y＝bln x＋a
①函数y＝bln x＋a的图象，如图所示；
②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，
再根据线性回归模型的方法求出a，b.
(3)y＝bx2＋a型
处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
跟踪训练3　为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
求y关于x的非线性经验回归方程.
解　作出散点图如图(1)所示.
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c.
令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a.
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相应的散点图如图(2)所示.
从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合.
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
3
随堂演练
PART THREE
1.(多选)以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是
1
2
3
4
5
解析　AC中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型.
√
√
2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
√
解析　决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好.
1
2
3
4
5
3.已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的经验回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量
A.一定是20.3%
B.在20.3%附近的可能性比较大
C.无任何参考数据
D.以上解释都无道理
√
解析　将x＝36代入经验回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3，
故这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.
1
2
3
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5
63
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)一元线性回归模型.
(2)最小二乘法、经验回归方程的求法.
(3)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R2法.
2.方法归纳：数形结合、转化化归.
3.常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
4
课时对点练
PART FOUR
1.如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其R2的值应接近于
A.0.5 B.2 C.0 D.1
基础巩固
1
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4
5
6
7
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√
16
解析　R2越接近于1，相关程度越高，故选D.
2.对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是
√
1
2
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5
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16
解析　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.
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3.工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的经验回归方程为 ＝50＋80x，下列判断正确的是
A.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
解析　因为经验回归方程的斜率为80，
所以x每增加1，y平均增加80，
即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元.
√
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4.两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是
A.y＝a·xb B.y＝a＋bln x
C.y＝a·ebx D.y＝a·
解析　由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，
因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合.
√
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√
√
解析　经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，所以有些散点不一定在经验回归直线上.
√
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12.1
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7.若经验回归直线方程中的回归系数 ＝0，则样本相关系数r＝____.
0
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8.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：


(1)表中数据m＝____；
40
时间 二月上旬 二月中旬 二月下旬 三月上旬
旬平均气温x(℃) 3 8 12 17
旬销售量y(件) 55 m 33 24
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(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为____件.
14
时间 二月上旬 二月中旬 二月下旬 三月上旬
旬平均气温x(℃) 3 8 12 17
旬销售量y(件) 55 m 33 24
故三月中旬的销售量约为14件.
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9.已知变量x，y有如下对应数据：

(1)作出散点图；
解　散点图如图所示.
x 1 2 3 4
y 1 3 4 5
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(2)用最小二乘法求关于x，y的经验回归方程.
x 1 2 3 4
y 1 3 4 5
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(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？
解　由(1)知，当x＝8时， ＝1.2×8＋0.2＝9.8，
即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元.
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综合运用
√
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12.恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.据某机构预测，n(n≥10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系，且经验回归方程为 ＝0.4x＋1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为
A.60% B.64% C.58% D.55%
√
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13.(多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为 ＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是
A.y与x具有正的线性相关关系
B.经验回归方程过样本点的中心( )
C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D.若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg
√
√
√
解析　A，B，C均正确，是经验回归方程的性质，D项是错误的，经验回归方程只能预测学生的体重，应为大约58.79 kg.
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14.某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,
170 cm,182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____ cm.
185
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解析　因为儿子的身高与父亲的身高有关，
所以设儿子的身高为Y(单位：cm)，父亲身高为X(单位：cm)，
根据数据列表：
X 173 170 176
Y 170 176 182
于是儿子身高与父亲身高的关系式为Y＝X＋3，
当X＝182时，Y＝185.
故预测该老师的孙子的身高为185 cm.
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拓广探究
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
若x＝5，则预测y的值可能为
A.e5 B. C.e7 D.
√
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列出x，z的取值对应的表格如下：
x 1 2 3 4
z 1 3 4 6
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16.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
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单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
1
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16
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解　设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.
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