9.2.2总体百分位数的估计 学案（Word版含解析）

9.2.2　总体百分位数的估计
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解百分位数的概念； 2.掌握计算百分位数的方法. 1.数学运算； 2.数据分析
【自主学习】
一．第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
二．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按 排列原始数据.
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 .
三．四分位数
25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
【小试牛刀】
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数． (　　)
(2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(　　)
(3)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(　　)
【经典例题】
题型一 百分位数的计算
例1 某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为
13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4，则所给数据的第25,50,75百分位数分别是
.
【跟踪训练】1 求下列数据的四分位数. 13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20．
题型二 百分位数的综合应用
点拨：根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得.
例2 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1︰3︰7︰6︰3，那么成绩的70%分位数约为 秒.
【跟踪训练】2 　某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
【当堂达标】
1.下列一组数据2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6的第25百分位数是(　　)
A．3.2 B．3.0　　C．4.4　　　D．2.5
2.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
3.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是________．
4.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；
(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．
5.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．
【参考答案】
【经典例题】
p% 从小到大 平均数
【自主学习】
(1)√　(2)×　(3)√
【小试牛刀】
例1 13.7,14.7,15.3 解析：将12个数据按从小到大排序：
13,13.5,13.6,13.8,14,14.6,14.8,15,15.2,15.4,15.7,15.8.
由i＝12×25%＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数即＝13.7；
由i＝12×50%＝6，得的给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7；
由i＝12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3.
【跟踪训练】1 把12个数据按从小到大的顺序排列可得：12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，计算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9，所以数据的第25百分位数为＝16.5，第50百分位数为＝21，第75百分位数为＝27.5．
例2 16.5 解析：设成绩的70%分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，
所以x∈[16,17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5(秒).
【跟踪训练】2 解 (1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y与x之间的函数解析式为y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.
(3)设75%分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数为m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，
解得m＝375千瓦时，
即用电量的75%分位数为375千瓦时．
【当堂达标】
1.A 解析：把这组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．
2.C 解析：因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，故选C．
3.8.4　解析：因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.
4. (1)0.04　(2)42.5　解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.
(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，
且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的95%分位数在[40,45]内，
因此志愿者年龄的95%分位数为40＋×5＝42.5岁．
5.　解析：样本数据低于10的比例为0.08 ＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40 ＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14]内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋×4＝.