10.1.4 概率的基本性质 学案（Word版含解析）

10.1.4　概率的基本性质
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.通过实例，理解概率的性质． 2.掌握随机事件概率的运算法则． 1.数学抽象; 2.数学运算
【自主学习】
概率的几个基本性质
(1)对任意的事件A，都有 .
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ．
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，P(A)＝ ．
(5)如果A B，那么 ．
(6)设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1. (　　)
(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． (　　)
(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”． (　　)
2.随机事件A发生的概率的范围是(　 　)
A．P(A)>0 B．P(A)<1 C．0【经典例题】
题型一 互斥事件、对立事件的概率公式及简单应用
例1 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)超过7环的概率．
【跟踪训练】1 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
题型二 概率一般加法公式(性质6)的应用
点拨：
1．若事件A和事件B为互斥事件，那　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．若事件A和事件B不是互斥事件，　P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
3．若事件A和事件B是对立事件，P(A)＋P(B)＝1.
例2 在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B).
【跟踪训练】2 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为(　C　)
A．0.20　　　B．0.39 　　　C．0.35　　　D．0.90
【当堂达标】
1.下列说法正确的是(　　)
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
D．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
2.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　　)
A．0.3 B．0.7 C．0.1 D．1
3.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
4.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．
5.投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件A为“出现奇数点”，事件B“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝__ _.
6.甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为________．
【课堂小结】
1.多个互斥事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率和．
2.性质6中公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)适用于一个随机试验中的任意两个事件，也适用于A，B为互斥事件的情况，因为互斥事件满足P(A∩B)＝0，此时公式变为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是互斥事件的概率加法公式．
【参考答案】
【自主学习】
P(A)≥0. P(A)＋P(B) 1－P(A) 1－P(B) P(A)≤P(B)
【小试牛刀】
1.(1)×　 (2)×　 (3)×
2.D 解析：必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，随机事件的概率在[0,1]上．故选D.
【经典例题】
例1 解：　(1)设A＝“射中10环”，B＝“射中7环”，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．A∪B＝“射中10环或7环”．
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设E＝“超过7环”，则事件E＝“射中8环或9环或10环”，由(1)可知“射中8环”“射中9环”等彼此是互斥事件，所以P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＝0.69，所以超过7环的概率是0.69.
【跟踪训练】1 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．
例2 解：P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6．
【跟踪训练】2 C 解析：∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，
∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.
【当堂达标】
1.C 解析：对于A，当A、B为对立事件时，A, B中至少有一个发生的概率和A，B中恰有一个发生的概率相等，故A错；对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，故B错；C正确，D错误．故选C.
2.A 解析：∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.
3.B 解析：∵P(A)＝，P(B)＝＝，事件A与B互斥，由互斥事件的概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
4.0.96解析：设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.]
5. 解析：因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.
6. 　解析：设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.
记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，则共有可能结果12种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1,4)，
故P(A∩B)＝；所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.