7.2 复数的四则运算 学案

复数的四则运算
【第一课时】
复数的加、减运算及其几何意义
学习重难点 学习目标 核心素养
复数加法、减法的运算 掌握复数代数形式的加法、减法运算法则 数学运算
复数加法的几何意义 理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义 直观想象
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？
2．复数的加、减法的几何意义是什么？
二、合作探究
探究点1：
复数的加、减法运算
例1：（1）计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）；
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2．
解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i＝－11i．
（2）因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，
所以所以所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i．
探究点2：
复数加、减法的几何意义
例2：已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．
（1）求表示的复数；
（2）求表示的复数．
解：（1）因为＝－，
所以表示的复数为－（3＋2i），即－3－2i．
（2）因为＝－，
所以表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i．
互动探究：
1．变问法：若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
解：因为＝＋，所以表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i．所以点B所对应的复数为1＋6i．
2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解：由题意知，点M为OB的中点，
则＝，由互动探究1中知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i．
三、学习小结
1．复数加、减法的运算法则及加法运算律
（1）加、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i．
（2）加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．
2．复数加、减法的几何意义
如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是．
四、精炼反馈
1．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）的结果为（　　）
A．5－3i B．3＋5i
C．7－8i D．7－2i
解析：选C．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i＝7－8i．
2．已知复数z1＝（a2－2）－3ai，z2＝a＋（a2＋2）i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．
解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋（a2－3a＋2）i是纯虚数，得 a＝－2．
答案：－2
3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i．
（1）求z1－z2；
（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．
解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i．
（2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中．
【第二课时】
复数的乘、除运算
学习重难点 学习目标 核心素养
复数的乘除运算 掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复数的乘除运算 数学运算
复数乘法的运算律 理解复数乘法的运算律 逻辑推理
解方程 会在复数范围内解方程 数学运算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？
2．复数乘法的运算律有哪些？
3．如何在复数范围内求方程的解？
二、合作探究
探究点1：
复数的乘法运算
例1：（1）（1－i）（1＋i）＝（　　）
A．1＋i B．－1＋i
C．＋i D．－＋i
（2）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（　　）
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
（3）把复数z的共轭复数记作，已知（1＋2i） ＝4＋3i，求z．
解：（1）选B．（1－i）（1＋i）
＝（1－i）（1＋i）
＝（1－i2）
＝2＝－1＋i．
（2）选D．因为a－i与2＋bi互为共轭复数，
所以a＝2，b＝1，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i．
（3）设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，
由已知得，（1＋2i）（a－bi）＝（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，由复数相等的条件知，
解得a＝2，b＝1，
所以z＝2＋i．
探究点2：
复数的除法运算
例2：计算：
（1）；
（2）．
解：（1）＝
＝＝＝＋i．
（2）＝＝
＝＝＝＝1－i．
探究点3：
i的运算性质
例3：（1）复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为（　　）
A．1 B．－1
C．i D．－i
（2）等于________．
解析：（1）z2＝＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1．
（2）＝＝＝i2 019＝（i4）504·i3＝1504·（－i）＝－i．
答案：（1）B
（2）－i
探究点4：
在复数范围内解方程
例4：在复数范围内解下列方程．
（1）x2＋5＝0；
（2）x2＋4x＋6＝0．
解：（1）因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为（i）2＝（－i）2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i．
（2）法一：因为x2＋4x＋6＝0，
所以（x＋2）2＝－2，
因为（i）2＝（－i）2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），
则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，
所以
又因为b≠0，
所以
解得a＝－2，b＝±．
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
三、学习小结
1．复数乘法的运算法则和运算律
（1）复数乘法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．
（2）复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 （z1z2）z3＝z1（z2z3）
乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3
2．复数除法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R），
则＝＝＋i（c＋di≠0）．
四、精炼反馈
1．若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（　　）
A．－2 B．－
C． D．2
解析：选D．因为（1＋bi）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．
2．已知i为虚数单位，则复数的模等于（　　）
A． B．
C． D．
解析：选D．因为＝＝＝－＋i，
所以||＝|－＋i|＝＝，故选D．
3．计算：（1）＋；
（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．
解：（1）＋
＝＋＝i（1＋i）＋
＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．
（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）
＝22－14i＋25－25i＝47－39i．
1 / 9