8.3 简单几何体的表面积与体积 学案（Word版含解析）

简单几何体的表面积与体积
【第一学时】
【学习目标】
1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积
2．能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系
【学习重难点】
1．柱、锥、台的表面积
2．锥体、台体的表面积的求法
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？
4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？
二、合作探究
柱、锥、台的表面积
例1：（1）若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ）
A． 倍
B．3 倍
C．2 倍
D．5 倍
（2）已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（ ）
A．1∶ B．1∶
C．2∶ D．3∶
（3）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．3
柱、锥、台的体积
例2：如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．
（1）求剩余部分的体积；
（2）求三棱锥A A1BD的体积及高．
组合体的表面积和体积
例3：如图在底面半径为 2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．
解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为r＝1，高 h＝，所以圆柱的体积 V1＝πr2h＝π×12×＝π.
圆锥的体积V2＝π×22×2＝π.
所以圆柱与圆锥的体积比为3∶8.
2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．
解：由例题解析可知：圆台的上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高h＝，母线l＝2，所以圆台的表面积S＝π（r2＋R2＋r·l＋Rl）＝π（12＋22＋1×2＋2×2）＝11π.
圆台的体积V＝π（r2＋rR＋R2）h＝π（12＋2＋22）×＝π.
3．[变条件、变问法]本例中的“高为”改为“高为h”，试求圆柱侧面积的最大值．
解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示易知△AEB∽△AOC，
所以＝，
即＝，
所以h＝2－r，
S圆柱侧＝2πrh＝2πr（2－r）
＝－2πr2＋4πr，
所以当r＝1，h＝时，圆柱的侧面积最大，其最大值为2π.
【学习小结】
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）V棱柱＝Sh；（2）V棱锥＝Sh；V棱台＝h（S′＋＋S），其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．
3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
名称 图形 公式
圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 体积：V＝πr2l
圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 体积：V＝πr2h
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl（r＋r′） 表面积： S＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl） 体积： V＝πh（r′2＋r′r＋r2）
【精炼反馈】
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）
A．22 B．20
C．10 D．11
2．正三棱锥的高为3，侧棱长为2，则这个正三棱锥的体积为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．
4．如图，三棱台ABC?A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1?ABC，三棱锥B?A1B1C，三棱锥C?A1B1C1的体积之比．
【第二学时】
【学习目标】
1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积
2．能解决与球有关的组合体的计算问题
【学习重难点】
1．球的表面积与体积
2．与球有关的组合体
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．球的表面积公式是什么？
2．球的体积公式什么？
二、合作探究
球的表面积与体积
例1：（1）已知球的体积是，则此球的表面积是（ ）
A．12π B．16π
C. D.
（2）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）
A．17π B．18π
C．20π D．28π
球的截面问题
例2：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（ ）
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
与球有关的切、接问题
角度一 球的外切正方体问题
例3： 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
角度二 球的内接长方体问题
例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．
角度三 球的内接正四面体问题
例5：若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．
角度四 球的内接圆锥问题
例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
角度五 球的内接直棱柱问题
例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．πa2 B.πa2
C.πa2 D．5πa2
【学习小结】
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3．
【精炼反馈】
1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是（ ）
A．36π，144π B．36π，36π
C．144π，36π D．144π，144π
2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是（ ）
A. B.
C. D.
3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________．
5．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．
【参考答案】
二、合作探究
例1：【答案】（1）C
（2）B
（3）A
【解析】（1）设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l＝2r，S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.
（2）棱锥 B′ ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B′C＝，S△B′AC＝.
三棱锥的表面积 S锥＝4×＝2，
又正方体的表面积 S正＝6.
因此 S锥∶S正＝2∶6＝1∶.
（3）设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S侧＝3π（r＋3r）＝84π，解得 r＝7.
例2：【答案】 （1）V三棱锥A1 ABD＝S△ABD·A1A
＝×·AB·AD·A1A＝a3.
故剩余部分的体积
V＝V正方体－V三棱锥A1 ABD＝a3－a3＝a3.
（2）V三棱锥A A1BD＝V三棱锥A1 ABD＝a3.
设三棱锥A A1BD的高为h，
则V三棱锥A A1BD＝·S△A1BD·h
＝××（a）2h＝a2h，
故a2h＝a3，
解得h＝a.
例3：【答案】设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.
则 R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示，
易知△AEB∽△AOC，
所以＝，即＝，所以 r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
所以 S＝S底＋S侧＝2π＋2π
＝（2＋2）π.
【精炼反馈】
1．【答案】A
【解析】选A.所求长方体的表面积S＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22.
2．【答案】D
【解析】选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V＝××32×3＝.故选D.
3．【答案】7∶9
【解析】圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，
则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π（3x＋4x）l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π（4x＋5x）l＝9πxl，所以S1∶S2＝7∶9.
4．【答案】解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
所以VA1?ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC?A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h（S＋4S＋2S）＝Sh，
所以VB?A1B1C＝V台－VA1?ABC－VC?A1B1C1
＝Sh－－＝Sh，
所以体积比为1∶2∶4.
【第二课时】
例1：【答案】 （1）B
（2）A
【解析】 （1）设球的半径为R，则由已知得
V＝πR3＝，解得R＝2.
所以球的表面积S＝4πR2＝16π.
（2）由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，
设球的半径为r，
故×πr3＝π，
所以r＝2，表面积S＝×4πr2＋πr2＝17π，选A.
例2：【答案】 A
【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），
BM＝AB＝×8＝4（cm）．
设球的半径为R cm，则
R2＝OM2＋MB2
＝（R－2）2＋42，
所以R＝5，
所以V球＝π×53＝π （cm3）．
例3：【答案】 A
【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是×π×13＝.
例4：【答案】 14π
【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝＝，
所以球的表面积 S＝4πR2＝14π.
例5：【答案】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a＝x，由题意 2R＝x＝×＝a，
所以 S球＝4πR2＝πa2.
例6：【答案】 或
【解析】 ①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为 ＝，
高为.
该圆锥的体积为 ×π××＝πr3，球体积为πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为.
例7：【答案】 B
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径 R＝ OA 满足R2＝＋＝a2，故 S球＝4πR2＝πa2.
【精炼反馈】
1．【答案】B
【解析】选B．球的半径为 3，表面积 S＝4π·32＝36π，体积 V＝π·33＝36π.
2．【答案】A
【解析】选 A．设正方体棱长为 a，球半径为 R，由 6a2＝4πR2 得＝，所以＝＝＝.
3．【答案】A
【解析】选 A．设两球的半径分别为 R，r（R>r），则由题意得解得故 R－r＝1.
4．【答案】
【解析】设球 O 的半径为 r，则πr3＝23，
解得 r＝.
5．【答案】解：设截面圆心为O′，球心为 O，连接 O′A，OA，OO′，
设球的半径为 R.
因为O′A＝××2＝.
在 Rt△O′OA 中，OA2＝O′A2＋O′O2，
所以 R2＝＋R2，
所以 R＝，
所以 S球＝4πR2＝π.
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