8.2 立体图形的直观图 学案（Word版含解析）

立体图形的直观图
【学习目标】
1．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
2．会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图
3．会根据斜二测画法规则进行相关运算
【学习重难点】
1．平面图形的直观图
2．简单几何体的直观图
3．直观图的还原与计算
【学习过程】
一、问题导学
预习教材内容，思考以下问题：
1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
二、合作探究
画水平放置的平面图形的直观图
例1：画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
画简单几何体的直观图
例2：已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
直观图的还原与计算
例3：如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．
【学习小结】
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．
（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
2．空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
（2）直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．
（3）已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
【精炼反馈】
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（ ）
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为（ ）
A．2S B.S
C．2S D.S
4．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成（ ）
A．平行于z′轴且大小为10cm
B．平行于z′轴且大小为5cm
C．与z′轴成45°且大小为10cm
D．与z′轴成45°且大小为5cm
5．画一个正四棱锥（底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形）的直观图（尺寸自定）．
【参考答案】
二、合作探究
例1：【答案】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
（2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
例2：【答案】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（如图②）．
例3：【答案】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形（如图）．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
【精炼反馈】
【答案】B
2．【答案】C
【解析】选C.由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，故选C.
3．【答案】C
【解析】选C.法一：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h，C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于点D′（图略），
则C′D′＝h.由题意知
C′D′（C′B′＋O′A′）＝S，即h（C′B′＋O′A′）＝S.
又原直角梯形面积为
S′＝·2h（CB＋OA）＝h（C′B′＋O′A′）＝＝2S.
所以梯形OABC的面积为2S.故选C.
法二：由S直观图＝S原图，
可得S梯形OABC＝＝2S，故选C.
4．【答案】A
【解析】选A.平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
5．【答案】解：步骤：
（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
（3）画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高．
（4）画棱．连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线（坐标轴），得到正四棱锥S ABCD的直观图，如图②所示．
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