第六章 微专题1 计数问题的常用方法（Word学案）

微专题1　计数问题的常用方法
有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等．求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解．
一、“多面手”问题
例1　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？
解　由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
方法一　分两类．
第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．
第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．
所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．
方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．
第一类：甲入选．
(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；
(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法．
故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．
第二类：甲不入选．可分两步．
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法．
综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．
反思感悟　用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示
具体意义如下：
从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示．
所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，
“类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．
二、“相邻”与“不相邻”问题
例2　把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
答案　36
解析　记其余两件产品为D，E.将A，B视为一个元素，先与D，E进行排列，有AA种方法，再将C插入，每种排列均只有3个空位可选，故不同的摆法共有AA×3＝2×6×3＝36(种)．
反思感悟　解排列组合问题时常以元素(或位置)为主体，即先考虑特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素进行排列．
三、含“至多”“至少”的问题
例3　某校举办诗歌朗诵比赛，该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为(　　)
A．720 B．768 C．810 D．816
答案　B
解析　根据题意，在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，有A＝840(种)情况，其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有A＝24(种)，则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)；
其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻的情况有CAA＝48(种)，
则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种)．故选B.
反思感悟　求解含有附加条件的计数问题的两种方法
通常选用直接法或间接法，解题时应注意对“至少”“至多”“恰好”等词的含义的理解．对于涉及“至少”“至多”等词的计数问题，既可以从反面情形考虑，即间接求解，也可以通过分类讨论直接求解．
四、组数问题
例4　有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解　方法一　(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个．
(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C·22·A个．
(3)0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个．
综上所述，共有不同的三位数
C·C·C·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个)．
方法二　(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数C·23·A－C·22·A＝432(个)．
五、分组分配问题
例5　将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)
答案　1 560
解析　把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类．
第一类，采用“3,1,1,1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本．不同的分法共有＝20(种)．
第二类，采用“2,2,1,1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本．不同的分法共有·＝45(种)．
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．
然后把分好的4组书分给4个人，共有A种分法，
所以不同的分法共有65×A＝1 560(种)．
反思感悟　本题属于局部均分问题，解题时需注意，若有m组元素个数相等，则分组时应除以A，分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
例6　6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
解　(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C＝10(种)方法．
(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种方法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C种方法，故共有CC＝40(种)方法．
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C种方法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个空盒子，如||00||0000|，有C种方法．
②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C种方法．
故共有C·(C＋C)＝30(种)方法．
反思感悟　相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块板．
六、涂色问题
例7　如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)
答案　72
解析　方法一　(以位置为主考虑)
第一步涂①，有4种着色方法．
第二步涂②，有3种着色方法．
第三步涂③，有2种着色方法．
第四步涂④时分两类，
第一类用余下的颜色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有1种着色方法；
第二类④与②同色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有2种着色方法．
所以不同的着色方法共有4×3×2×(1×1＋1×2)＝72(种)．
方法二　(以颜色为主考虑)分两类．
(1)取4色：着色方法有2A＝48(种)．
(2)取3色：着色方法有A＝24(种)．
所以共有着色方法48＋24＝72(种)．