7.3.1 离散型随机变量的均值 （Word版含答案）

§7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
学习目标　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．
知识点一　离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望．
2．离散型随机变量的均值的意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
3．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为
Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考　离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？
答案　(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．
(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
知识点二　两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　×　)
2．随机变量的均值反映了样本的平均水平．(　×　)
3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　√　)
4．若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1)．(　√　)
一、利用定义求离散型随机变量的均值
例1　袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．
解　取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝，
故X的分布列为
X 5 6 7 8
P
∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
反思感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X)．
跟踪训练1　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值．
解　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴P(X＝－4)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＋××＋××＝，
P(X＝6)＝××＝＝.
∴X的分布列为
X －4 1 3 6
P
∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝.
二、离散型随机变量均值的性质
例2　已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
答案　
解析　由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
延伸探究
本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值．
解　E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，
所以a＝15.
反思感悟　求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．
跟踪训练2　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为η＝12ξ＋7，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②
由①②可解得m＝.
三、均值的实际应用
例3　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
反思感悟　解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
跟踪训练3　受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障 时间x(年) 02 02
轿车数量(辆) 2 3 45 5 45
每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1 1 2 3
P
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P
(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝2.86(万元)．
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车．
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的均值E(X)等于(　　)
A. B．2 C. D．3
答案　A
解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　)
A．0 B. C．1 D．－1
答案　A
解析　因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.
3．设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
4．若随机变量Y＝aX＋3，且E(Y)＝，E(X)＝－，则a＝________.
答案　2
解析　∵E(X)＝－，E(Y)＝，Y＝aX＋3，
∴aE(X)＋3＝，解得a＝2.
5．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．
答案　
解析　试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的均值．
(2)离散型随机变量的均值的性质．
(3)两点分布的均值．
2．方法归纳：函数与方程、转化化归．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 18 20
频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
试估计该商品日平均需求量为(　　)
A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8
答案　D
解析　估计该商品日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故选D.
2．(多选)已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则(　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a＝7 B．b＝0.4
C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62
答案　ABC
解析　由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，
E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52，
故ABC正确．
3．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　)
A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.38
答案　A
解析　因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，
P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，
所以X的分布列为
X 1.2 1.18 1.17
P
所以E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
4．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于(　　)
A．2 B. C. D.
答案　D
解析　由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意得，X的所有可能的取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故A正确．
6．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.
答案　2
解析　∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，
∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.
7．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＝________，b＝________.
答案　　0
解析　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3.①
又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，
即10a＋4b＝1，②
由①②，得a＝，b＝0.
8．某射手射击所得环数X的分布列如下：
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知E(X)＝8.9，则y的值为________．
答案　0.4
解析　由解得
9．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
解　X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
所以抽取次数X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
10．春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
(1)随机变量ξ的分布列；
(2)随机变量ξ的均值．
解　(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.
则P(ξ＝0)＝4＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝4＝.
从而ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)由(1)得ξ的均值为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
11．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　)
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
答案　B
解析　出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．
12．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为(　　)
A．无法确定 B．0 C．E(X) D．2E(X)
答案　B
解析　∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
13．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P －p p
则E(ξ)的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　B
解析　由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(ξ)＝p＋1≤，故选B.
14．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为(0答案　2　
解析　依题意，得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是××＝，解得t＝2，
所以乙应聘成功的概率为，则ξ的所有可能的取值为0,1,2，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
P(ξ＝0)＝×＝，
则E(ξ)＝2×＋1×＋0×＝.
15．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为(　　)
A. B. C. D.
答案　AB
解析　根据题意，X的所有的可能取值为1,2,3，且
P(X＝1)＝p，
P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝(1－p)2，
则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，
依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
解得p>或p<，
结合p的实际意义，可得0结合选项可知AB正确．
16．某牛奶店每天以每盒3元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒5元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
(1)若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，求当天的利润x(单位：元)关于当天需求量n(单位：盒，n∈N*)的函数解析式；
(2)牛奶店老板记录了某100天鲜牛奶的日需求量(单位：盒)，整理得下表：
日需求量 48 49 50 51 52 53 54
频数 10 20 16 16 15 13 10
以这100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进50盒鲜牛奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及均值；
②若牛奶店计划一天购进50盒或51盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进50盒还是51盒？请说明理由．
解　(1)当n<50时，y＝5n－50×3＝5n－150，
当n≥50时，y＝50×(5－3)＝100，
∴y＝(n∈N*)．
(2)①由(1)可知，n＝48时，X＝90，当n＝49时，X＝95，当n≥50时，X＝100.
∴X的可能取值为90,95,100.
P(X＝90)＝＝，
P(X＝95)＝＝，
P(X＝100)＝＝.
∴X的分布列为
X 90 95 100
P
∴E(X)＝×90＋×95＋×100＝98.
②由①知当购进50盒时，E(X)＝98.
当购进51盒时，y＝(n∈N*)，
设Y表示当天的利润，∴当n＝48时，Y＝87，当n＝49时，Y＝92，当n＝50时，Y＝97，当n≥51时，Y＝102，
∴P(Y＝87)＝，
P(Y＝92)＝，
P(Y＝97)＝＝，
P(Y＝102)＝＝，
∴E(Y)＝×87＋×92＋×97＋×102＝＝97.7.
∵98>97.7，∴每天购进50盒比较合理．