7.4.1 二项分布 （Word版含解析）

§7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
学习目标　1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
知识点一　n重伯努利试验及其特征
1．n重伯努利试验的概念
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验的共同特征
(1)同一个伯努利试验重复做n次．
(2)各次试验的结果相互独立．
思考　在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗？
答案　是．其满足n重伯努利试验的共同特征．
知识点二　二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
知识点三　二项分布的均值与方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
1．设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p)．(　√　)
2．在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　√　)
3．对于n重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　×　)
4．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(　√　)
一、n重伯努利试验的判断
例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
解　(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．
反思感悟　n重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生．
跟踪训练1　(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　)
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
答案　ABC
解析　AC符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．
二、n重伯努利试验的概率
例2　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
解　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×2＝，P(B2)＝C×1×＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝.
延伸探究
1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．
解　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝，
所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×＝.
2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．
解　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C×2＝，P(B4)＝C×2＝，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P(A4B4)＝×＝.
反思感悟　n重伯努利试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练2　甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．
(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者胜，甲获胜的概率是多少？
(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？
解　(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P＝2＋C×××＝.
(2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则
P＝3＋C×2××＋C×2×2×＝.
三、二项分布的应用
例3　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
解　(1)方法一　由ξ～B，则
P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝C×0×5＝；
P(ξ＝1)＝C××4＝；
P(ξ＝2)＝C×2×3＝；
P(ξ＝3)＝C×3×2＝；
P(ξ＝4)＝C×4×＝；
P(ξ＝5)＝C×5＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
方法二　∵ξ～B，∴E(ξ)＝.
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k×，k＝0,1,2,3,4,5，
即P(η＝0)＝0×＝；
P(η＝1)＝×＝；
P(η＝2)＝2×＝；
P(η＝3)＝3×＝；
P(η＝4)＝4×＝；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5＝.
故η的分布列为
η 0 1 2 3 4 5
P
(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－5＝.
反思感悟　概率综合问题的求解策略
(1)定模型：准确地确定事件的性质，把问题归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验中的某一种．
(2)明事件：判断事件是A＋B还是AB.
(3)套公式：选择相应公式求解即可．
跟踪训练3　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列，并求E(X)．
解　由题意可知X～B，
∴P(X＝k)＝C×k×3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝C×0×3＝；
P(X＝1)＝C××2＝；
P(X＝2)＝C×2×＝；
P(X＝3)＝C×3＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
方法一　∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方法二　∵X～B，∴E(X)＝3×＝.
1．若随机变量X～B，则P(X＝2)等于(　　)
A.2×3 B.2×3
C．C×2×3 D．C×2×3
答案　D
解析　∵随机变量X～B，
∴P(X＝2)＝C×2×3.
2．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为(　　)
A．0.93 B．1－(1－0.9)3
C．C×0.93×0.12 D．C×0.13×0.92
答案　C
解析　5头猪中恰有3头被治愈的概率为C×0.93×0.12.
3．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设此射手的命中概率为x，则不能命中的概率为1－x，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－＝，有(1－x)4＝，解得x＝或x＝(舍去)．
4．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
答案　0.048 6
解析　P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.
5．已知小明投10次篮，每次投篮的命中率均为0.7，记10次投篮中命中的次数为X，则D(X)＝________.
答案　2.1
解析　由题意，知X～B(10,0.7)，则D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1.
1．知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征．
(2)二项分布的概念及表示．
2．方法归纳：数学建模．
3．常见误区：二项分布的判断错误．
1．设X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于(　　)
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
答案　D
解析　∵E(X)＝16，
∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.
2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才算通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
答案　A
解析　根据题意，该同学通过测试的两种情况分别为投中2次和投中3次，所以所求概率为P＝C×0.62×(1－0.6)＋C×0.63＝0.648.
3．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
答案　D
解析　所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝C×2××＝3×××＝，故选A.
5．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
A.5 B．C×5
C．C×3 D．C×C×5
答案　B
解析　如图，由题意可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为
P＝C×2×3＝C×5.
6．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________．
答案　4
解析　由1－Cn>0.9，得n<0.1，∴n≥4.
7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
答案　
解析　正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C6＋C6＋C6＝.
8．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
答案　
解析　每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设申请A片区的房源记为事件A，则P(A)＝，所以恰有2人申请A片区的概率为C×2×2＝.
9．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．
解　(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8，
5次预报相当于5重伯努利试验．
“恰有2次准确”的概率为
P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”．
其概率为P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72.
所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
10．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的均值．
解　(1)依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是，故ξ＝2时的概率P＝C22＝.
(2)方法一　ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，
依题意知，P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)．
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二　∵ξ服从二项分布，即ξ～B，
∴E(ξ)＝4×＝.
11．(多选)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则(　　)
A．p＝ B．E(ξ)＝
C．D(η)＝1 D．P(η≥2)＝
答案　ABD
解析　∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，
∴C(1－p)2＋＝1，∴p＝.
∴E(ξ)＝2×＝，D(η)＝3××＝.
P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)＝＋＝.
12．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)
A.3× B.
C.× D．C×3×
答案　A
解析　由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为3×.
13．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)
A．[0.4,1) B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
答案　A
解析　由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
解得p≥0.4，又∵014．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为________．
答案　
解析　S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝C×3×＝.
15．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是(　　)
A．2 B．3 C．2或3 D．4
答案　B
解析　P(X＝k)＝Ck6－k＝C6，
又＝＝，
当k<时，P(X＝k＋1)>P(X＝k)，
当k>时，P(X＝k＋1)∴当k＝3时，P(X＝k)取得最大值．
16．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．
解　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C×(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C×0.63＝0.216，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.