高中数学人教B版（2019）必修第二册 4.1.1实数指数幂及其运算课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
情境与问题
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%。
你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？
一、有理指数幂
初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=2×2×2×2×2=32，
30=
一般地，an中的a称为 ，n称为
整数指数幂运算的运算法则有
aman= ，(am)n= ，(ab)m= .
1
底数
指数
am+n
amn
ambm
另外，初中我们还学方根和立方根：
（1）如果x2=a，则称x为a的平方根（或二次方根）：当a>0时，a有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根记为 ，负的平方根记为 ；当a=0时，a只有一个平方根，记为 ；当a＜0时，a在实数范围内没有平方根。
例如， = .
二次根式的运算法则有
0
（2）如果x3=a，则x称为a的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数a有且只有一个立方根，记作 。
例如， = .
2
类比二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义。
尝试与发现
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得
xn=a，
则x称为a的 。
n次方根
例如，因为方程x4=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根：因为25=32，而且x5=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2
根据方程xn=a解的情况不难看出：
（1）0的任意正整数次方根均为0，记为 .
（2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为 ，负的方根记为- ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0且n为偶数时， 在实数范围内没有意义。
（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 。而且正数的奇数数次方根是一个正数，负数的奇数数次方根是一个负数.
当 有意义的时候， 称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
注意，虽然我们不知道 等的精确小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道 的一些性质，比如 等.
一般地，根式具有以下性质：
（1）
（2）当n为奇数时， 当n为偶数时，
例如，
你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使 成为(am)n=amn的特例 ， 成为ambm=(ab)m的特例吗？
尝试与发现
现在来将整数指数幂运算推广到分数指数幂运算，也就是给出 等的定义.同以前一样，我们希望推广后，有关的运算性质仍然能保持，比如(am)n=amn在m，n都是分数时仍然成立，因此， 应该满足
这表示 应该是 5 的平方跟，但是5的平方根有两个，即 和- ，为了方便起见，我们规定 = .这样一来，尝试与发现中的问题也就解决了.
一般地，如果n是正整数，那么：当 有意义时，规定
当 没有意义时，称 没有意义.
例如，
而 没有意义，因为 没有意义.
2
-3
这样一来， 可以看成 ，也可以看成 ，即
= =
对于一般的正分数 ，也可作类似规定，即
但值得注意的是，这个式子在 不是既约分数（即m，n有大于1的公约数）时可能会有歧义.
例如， 是有意义的，而 是没有意义的。因此，以后如果没有特别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数。
负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a- s=
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂）.
一般情况下，当s与都是有理数时，有运算法则：
asat=as+t
(as)t=ast
(ab)s=asbs
例如，
典型例题
例1 求证：如果a>b>0，n是大于1的自然数，那么
证明 假设 ，即
或
根据不等式的性质与根式的性质，得
a这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而
利用例1的结论，可以证明（留作练习）：
（1）如果a>s>0，s是正有理数，那么as>bs；
（2）如果a>1，s是正有理数，那么as>1，a-s<1；
（3）如果a>1，s>t>0，且s与t均为有理数，那么as>at
二、实数指数幂
有理数指数幂还可以推广到无理数指数幂，下面我们通过一个例子来描述其中的思想。
应该怎样理解2π这个数呢
尝试与发现
根据前面的知识，猜测2π与23的相对大小，以及2π与24的相对大小
不难猜出，23＜2π＜24.
就像在计算圆的面积时，我们常常取π为3.14一样，在精度要求不高的前提下，我们可以认为
2π≈23.14=
因为π=3.141592653...是一个无理数（即无限不循环小数），我们写不出他的精确的小数形式，但是因为3.1＜π＜3.2，所以23.1＜2π＜23.2，同样
3.14＜π＜3.15 23.14＜2π＜23.15
3.141＜π＜3.142 23.141＜2π＜23.142
3.1415＜π＜3.1416 23.1415＜2π＜23.1416
3.14159＜π＜3.14160 23.14159＜2π＜23.14160
也就是说，两个序列
3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，...；
3.2.，3.15，3.142，3.1416，3.14160，...
中的数，随着小数点后位数的增加，都越来越接近，从而两个序列
23.1，23.14，23.141，23.1415，23.14159，...；
23.2，23.15，23.142，23.1416，23.14160，...；
中的数，随着指数的变化，也都会越来越接近一个实数，这个实数就是2π
一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，我们可以用与上述类似的方法找出它的任意精度的近似值。因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义.
可以证明，对任意实数s和t，类似前述有理指数释的运算法则仍然成立。
典型例题
例2 计算下列各式的值：
（1）
（2）
典型例题
例3 化简下列各式：
（1）
（2）
三、用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得.
在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“ ”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值.如下图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果。下面我们来求本节情境与问题中的年平均增长率。
假设年平均增长率为x，则应该有
(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x)3
从而x=
由此可预测2017年的科研和开发机构基础研究经费支出为
221.59×(1+15.05%)4≈388.24（亿元）
其他年份的预测值可用类似的方法算出.