第八章 8.1 成对数据的统计相关性 学案（含答案）

§8.1　成对数据的统计相关性
学习目标　1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.2.了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.3.结合实例，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的相关性．
知识点一　相关关系
1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
思考　相关关系是函数关系吗？
答案　不是．函数关系是唯一确定的关系．
2．相关关系的分类
(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．
①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；
②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．
(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．
①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；
②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．
知识点二　相关关系的刻画
1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．
2．样本相关系数
(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝.
(2)样本相关系数r的取值范围为[－1,1]．
①若r>0时，成对样本数据正相关；
②若r<0时，成对样本数据负相关；
③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
1．函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种不确定关系．(　√　)
2．样本相关系数r越大，两变量的相关性越强．(　×　)
3．散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性．(　√　)
4．若变量x，y满足函数关系，则这两个变量线性相关．(　×　)
一、变量间相关关系的判断
例1　(1)(多选)下列关系中，属于相关关系的是(　　)
A．正方形的边长与面积之间的关系
B．农作物的产量与施肥量之间的关系
C．出租车费与行驶的里程
D．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
答案　BD
解析　A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系；D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
(2)某种产品的广告支出费x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
①画出散点图；
②从散点图中判断销售金额与广告支出费成什么样的关系？
解　①以x对应的数据为横坐标，y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示．
②从图中可以发现广告支出费与销售金额之间具有相关关系，并且当广告支出费由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．
反思感悟　两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．
(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
跟踪训练1　(多选)在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是(　　)
答案　BC
解析　图A的两个变量具有函数关系；图BC的两个变量具有相关关系；图D的两个变量之间既不是函数关系，也不是相关关系．
二、样本相关系数的性质
例2　(1)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r如下表：
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案　D
解析　|r|越接近1，相关性越强，故选D.
(2)在一组成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组成对样本数据的样本相关系数为－1，则所有的样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)满足的方程可以是(　　)
A．y＝－x＋1 B．y＝x－1
C．y＝x＋1 D．y＝－x2
答案　A
解析　∵这组成对样本数据的样本相关系数为－1，
∴这一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)线性相关，且是负相关．
∴可排除B，C，D，故选A.
反思感悟　样本相关系数的性质
(1)r的绝对值越接近0，相关性越弱．
(2)r的绝对值越接近1，相关性越强．
跟踪训练2　(1)对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
答案　C
解析　由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．
(2)(多选)对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是(　　)
A．|r|越大，相关程度越大
B．|r|越小，相关程度越大
C．|r|趋近于0时，没有线性相关关系
D．|r|越接近1时，线性相关程度越强
答案　AD
解析　对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确；对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误；对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误；对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确．综上，正确的是AD.
三、样本相关系数的计算及应用
例3　某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：
x 2 4 6 8
y 30 40 50 70
(1)画出(x，y)的散点图；
(2)计算x与y之间的样本相关系数，并刻画它们的相关程度．
解　(1)画出(x，y)的散点图如图所示．
(2)＝5，＝47.5，
＝120，＝9 900，iyi＝1 080，
故样本相关系数r＝
＝≈0.982 7.
由样本相关系数r≈0.982 7，可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很高．
反思感悟　线性相关强弱的判断方法
(1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．
(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．
跟踪训练3　假设关于某种设备的使用年限x(单位：年)与所支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
计算y与x之间的样本相关系数(精确到0.001，已知＝90，≈140.8，iyi＝112.3，≈8.9，≈1.4)．
解　∵＝＝4，
＝＝5.
iyi－5＝112.3－5×4×5＝12.3，
－52＝90－5×42＝10，
－52＝140.8－125＝15.8，
∴r＝＝＝＝≈≈0.987.
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．任意两个变量都具有相关关系
B．圆的周长与该圆的直径具有相关关系
C．某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系
D．当两个变量相关且样本相关系数r>0时，表明两个变量正相关
答案　CD
解析　A显然不对，B是函数关系，CD正确．
2．若变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.983 2，则变量y与x之间(　　)
A．不具有线性相关关系
B．具有线性相关关系
C．它们的线性相关关系还需要进一步确定
D．不确定
答案　B
解析　变量y与x之间的样本相关系数r＝－0.983 2，|r|＝0.983 2接近1，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强，∴变量y与x之间有较强的线性相关关系，故选B.
3．两个变量x，y的样本相关系数r1＝0.785 9，两个变量u，v的样本相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　)
A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
答案　C
解析　由样本相关系数r1＝0.785 9>0知x与y正相关，由样本相关系数r2＝－0.956 8<0知u，v负相关，又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选C.
4．据两个变量x，y之间的成对样本数据画出散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系________．(填“是”或“否”)
答案　否
解析　图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系．
5．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：
固定资产价值 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10
工业增加值 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45
根据上表资料计算的样本相关系数约为________．
答案　0.991 8
解析　＝＝6.6，
＝＝31.5.
∴r＝≈0.991 8.
1．知识清单：
(1)相关关系．
(2)散点图．
(3)正相关、负相关、线性相关、非线性相关．
(4)样本相关系数．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：相关关系与函数关系不分，样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系．
1．若“名师出高徒”成立，则名师与高徒之间存在什么关系(　　)
A．相关关系 B．函数关系
C．无任何关系 D．不能确定
答案　A
2．(多选)给出下列关系，其中有相关关系的是(　　)
A．人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系
B．曲线上的点与该点的坐标之间的关系
C．苹果的产量与气候之间的关系
D．森林中的同一种树木，其截面直径与高度之间的关系
答案　ACD
3．两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系是(　　)
A．①②③ B．②③① C．②①③ D．①③②
答案　D
解析　对于(1)，图中的点成带状分布，且从左到右上升，是①正相关关系；对于(2)，图中的点没有明显的带状分布，是③不相关；对于(3)，图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是②负相关关系．故选D.
4．(多选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
答案　BCD
解析　由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．
5．变量X与Y相对应的一组成对样本数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U与V相对应的一组成对样本数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的样本相关系数，r2表示变量V与U之间的样本相关系数，则(　　)
A．r2C．r2<0答案　C
解析　由已知中的数据可知：第一组成对样本数据正相关，则样本相关系数大于零，第二组成对样本数据负相关，则样本相关系数小于零，故选C.
6．如图所示的两个变量不具有相关关系的有________．(填序号)
答案　①④
解析　①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
7．给出下列x，y值的数据如下：
x 1 2 4 8
y 3 5 9 17
则根据数据可以判断x和y的关系是________．(填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”)
答案　确定关系
解析　由表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系：y＝2x＋1，所以x，y是一种确定的关系，即函数关系．
8．对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的序号有________．
①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；
②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分；
③该同学的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关．
答案　①②③
解析　散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，①正确；该同学在这连续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，②正确；该同学的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确．
9．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示：
年龄x(岁) 1 2 3 4 5 6
身高y(cm) 78 87 98 108 115 120
(1)画出散点图；
(2)判断y与x是否具有线性相关关系，如果相关，是正相关还是负相关．
解　(1)散点图如图所示．
(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系，且是正相关关系．
10．关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
求变量y与x的样本相关系数，并判断变量y与x之间是正相关还是负相关．
解　＝(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，
＝(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，
＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5 414，
iyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18 542，
＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124 393，
∴r＝
＝
≈≈0.837 5.
∵r>0，∴变量y与x之间是正相关关系．
11．两个变量y与x的模型中，分别选择了4个不同模型，它们的样本相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)
模型 模型1 模型2 模型3 模型4
样本相关系数r 0.98 0.80 0.50 0.25
A.模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
答案　A
12．某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是(　　)
A．r4C．r2答案　C
解析　根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条直线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关，故r1>0，r3>0，r2<0，r4<0，又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故r1>r3，r213．如图所示，有5组(x，y)数据，去掉哪一组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系(　　)
A．E B．D C．B D．A
答案　B
解析　去掉D组数据之后，剩下的4组数据成线性相关关系．
14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看：
(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；
(2)在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．
答案　(1)乙　(2)数学
解析　(1)在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；(2)由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”，即数学的成绩更靠前．
15．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均销售额 6 5 8 3 4 7
利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根据表中数据，下列说法正确的是(　　)
A．利润率与人均销售额成正比例函数关系
B．利润率与人均销售额成反比例函数关系
C．利润率与人均销售额成正相关关系
D．利润率与人均销售额成负相关关系
答案　C
解析　根据题意，画出利润率与人均销售额的散点图，如图所示．
由散点图可知，利润率与人均销售额成正相关关系．故选C.
16．现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如下表：
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
计算这10个学生的两次数学考试成绩的样本相关系数r，并判断两者是否具有线性相关关系．
解　＝×(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
＝×(84＋64＋…＋57＋71)＝68，
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584，
＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，
iyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73 796，
∴样本相关系数为
r＝
≈0.750 6，
∴这10个学生的两次数学考试成绩具有线性相关关系．