第八章 8.2 一元线性回归模型及其应用 学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 第八章 8.2 一元线性回归模型及其应用 学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 391.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-21 11:20:24 | ||
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文档简介
§8.2 一元线性回归模型及其应用
学习目标 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
知识点一 一元线性回归模型
称为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．
知识点二 最小二乘法
将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中＝，＝－.
思考1 经验回归方程一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一点吗？
答案 不一定．
思考2 点(，)在经验回归直线上吗？
答案 在．
知识点三 残差与残差分析
1．残差
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．
2．残差分析
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
知识点四 对模型刻画数据效果的分析
1．残差图法
在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系．
2．残差平方和法
残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
3．R2法
可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．
思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？
答案 不一定，他只是真实值的一个预测估计值．
1．求经验回归方程前可以不进行相关性检验．( × )
2．在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( √ )
3．利用经验回归方程求出的值是准确值．( × )
4．残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好．( √ )
5．R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．( × )
一、求经验回归方程
例1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
解 (1)散点图如图所示：
(2)＝＝9，
＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故经验回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中经验回归方程可知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，即预测记忆力为9的同学的判断力为4.
反思感悟 求经验回归方程可分如下四步来完成
(1)列：列表表示xi，yi，x，xiyi.
(2)算：计算，，，iyi.
(3)代：代入公式计算，的值．
(4)写：写出经验回归方程．
跟踪训练1 随着我国经济的发展，居民储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y (千亿元) 5 6 7 8 10
(1)求y关于t的经验回归方程＝t＋；
(2)用所求经验回归方程预测该地区2021年(t＝7)的人民币储蓄存款．
解 (1)由题意可知，n＝5，＝i＝＝3，
＝i＝＝7.2.
又＝55，
iyi＝120，
计算得，＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6.
故所求经验回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝7代入＝1.2t＋3.6，可得＝1.2×7＋3.6＝12(千亿元)，
所以预测该地区2021年的人民币储蓄存款为12千亿元．
二、线性回归分析
例2 已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y关于x的经验回归方程，并借助残差平方和和R2说明回归模型拟合效果的好坏．
解 ＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好．
反思感悟 刻画回归效果的三种方法
(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
(2)残差平方和法：残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
(3)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好．
跟踪训练2 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求经验回归方程；
(2)求出R2;
(3)进行残差分析．
解 (1)散点图如图 .
＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，
＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
＝2 275，＝554.659 4，iyi＝1 076.2，
计算得，≈0.183，≈6.285，
所求经验回归方程为＝0.183x＋6.285.
(2)残差表如下：
yi－i 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－ －2.237 －1.367 －0.537 0.413 1.413 2.313
所以(yi－i)2≈0.013 18，(yi－)2≈14.678 3.
所以R2≈1－≈0.999 1，
所以回归模型的拟合效果很好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有，则需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与重量成线性关系．
三、非线性回归
例3 下表为收集到的一组数据：
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
(3)利用所得模型，预测x＝40时y的值．
解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数型曲线y＝c1的周围，其中c1，c2为待定的参数．
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用经验回归模型来建立y与x之间的非线性经验回归方程了，数据可以转化为
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
求得经验回归方程为＝0.272x－3.849，
∴＝e0.272x－3.849.
残差表如下：
yi 7 11 21 24 66 115 325
i 6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325
i 0.557 －0.101 1.875 －8.950 9.23 －13.381 34.675
(3)当x＝40时，＝e0.272×40－3.849≈1 131.
反思感悟 非线性回归问题的处理方法
(1)指数函数型y＝ebx＋a
①函数y＝ebx＋a的图象，如图所示；
②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
(2)对数函数型y＝bln x＋a
①函数y＝bln x＋a的图象，如图所示；
②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，
再根据线性回归模型的方法求出a，b.
(3)y＝bx2＋a型
处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
跟踪训练3 为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
求y关于x的非线性经验回归方程．
解 作出散点图如图(1)所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c.
令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a.
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合．
由表中数据得到经验回归方程为＝0.69x＋1.115.因此细菌的繁殖个数y关于天数x的非线性经验回归方程为＝e0.69x＋1.115.
1．(多选)以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( )
答案 AC
解析 AC中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 A
解析 决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
3．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的经验回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )
A．一定是20.3%
B．在20.3%附近的可能性比较大
C．无任何参考数据
D．以上解释都无道理
答案 B
解析 将x＝36代入经验回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3，故这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.
4．由变量x与y相对应的一组成对样本数据(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19，y5)得到的经验回归方程为＝2x＋45，则＝________.
答案 63
解析 ∵＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，＝2＋45，
∴＝2×9＋45＝63.
5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为________．
答案 ＝e0.25x－2.58
解析 因为＝0.25x－2.58，＝ln y，
所以＝e0.25x－2.58.
1．知识清单：
(1)一元线性回归模型．
(2)最小二乘法、经验回归方程的求法．
(3)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R2法．
2．方法归纳：数形结合、转化化归．
3．常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误．
1．如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其R2的值应接近于( )
A．0.5 B．2 C．0 D．1
答案 D
解析 R2越接近于1，相关程度越高，故选D.
2．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
答案 A
解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
3．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的经验回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
答案 B
解析 因为经验回归方程的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．
4．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( )
A．y＝a·xb B．y＝a＋bln x
C．y＝a·ebx D．y＝a·
答案 B
解析 由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合．
5．(多选)对于经验回归方程＝x＋ (>0)，下列说法正确的是( )
A．当x增加一个单位时，的值平均增加个单位
B．点(，)一定在＝x＋所表示的直线上
C．当x＝t时，一定有y＝t＋
D．当x＝t时，y的值近似为t＋
答案 ABD
解析 经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，所以有些散点不一定在经验回归直线上．
6．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元．
答案 12.1
解析 将x＝15代入＝0.8x＋0.1，得＝12.1.
7．若经验回归直线方程中的回归系数＝0，则样本相关系数r＝________.
答案 0
解析 样本相关系数r＝与＝的分子相同，故r＝0.
8．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：
时间 二月 上旬 二月 中旬 二月 下旬 三月 上旬
旬平均气温x(℃) 3 8 12 17
旬销售量y(件) 55 m 33 24
由表中数据算出经验回归方程＝x＋中的＝－2，样本点的中心为(10,38)．
(1)表中数据m＝________；
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为________件．
答案 (1)40 (2)14
解析 (1)由＝38，得m＝40.
(2)由＝－得＝58，故＝－2x＋58，
当x＝22时，＝14，
故三月中旬的销售量约为14件．
9．已知变量x，y有如下对应数据：
x 1 2 3 4
y 1 3 4 5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x，y的经验回归方程．
解 (1)散点图如图所示．
(2)＝＝，＝＝，
iyi＝1＋6＋12＋20＝39，＝1＋4＋9＋16＝30，
＝＝，
＝－×＝0，
所以＝x即为所求的经验回归方程．
10．由某种设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据资料算得如下结果，＝90，iyi＝112，i＝20，i＝25.
(1)求所支出的维修费y关于使用年限x的经验回归方程＝x＋；
(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？
解 (1)∵i＝20，i＝25，
∴＝i＝4，＝i＝5，
∴＝＝＝1.2，
＝－＝5－1.2×4＝0.2.
∴所求经验回归方程为＝1.2x＋0.2.
(2)①由(1)知＝1.2>0，∴变量x与y之间是正相关．
②由(1)知，当x＝8时，＝1.2×8＋0.2＝9.8，
即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元．
11．设两个变量x和Y之间具有线性相关关系，它们的样本相关系数是r，Y关于x的经验回归方程的回归系数为，回归截距是，那么必有( )
A.与r的符号相同 B.与r的符号相同
C.与r的符号相反 D.与r的符号相反
答案 A
解析 与r的符号相同．
12．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．据某机构预测，n(n≥10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系，且经验回归方程为＝0.4x＋1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为( )
A．60% B．64% C．58% D．55%
答案 B
解析 把x＝5代入经验回归方程＝0.4x＋1.2中，得＝0.4×5＋1.2＝3.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为＝0.64＝64%，故选B.
13．(多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．经验回归方程过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg
答案 ABC
解析 A，B，C均正确，是经验回归方程的性质，D项是错误的，经验回归方程只能预测学生的体重，应为大约58.79 kg.
14．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm,182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
答案 185
解析 因为儿子的身高与父亲的身高有关，所以设儿子的身高为Y(单位：cm)，父亲身高为X(单位：cm)，根据数据列表：
X 173 170 176
Y 170 176 182
由表中数据，求得回归系数＝1，＝3.
于是儿子身高与父亲身高的关系式为Y＝X＋3，
当X＝182时，Y＝185.
故预测该老师的孙子的身高为185 cm.
15．已知变量y关于x的非线性经验回归方程为＝ex－0.5，其一组数据如下表所示：
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
若x＝5，则预测y的值可能为( )
A．e5 B． C．e7 D．
答案 D
解析 将式子两边取对数，得到ln ＝x－0.5，
令z＝ln ，得到z＝x－0.5，
列出x，z的取值对应的表格如下：
x 1 2 3 4
z 1 3 4 6
则＝＝2.5，＝＝3.5，
∵(，)满足z＝x－0.5，
∴3.5＝×2.5－0.5，解得＝1.6，
∴z＝1.6x－0.5，∴＝e1.6x－0.5，
当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝.
16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
(1)求经验回归方程＝x＋，其中＝－20；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解 (1)由于＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而经验回归方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
学习目标 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
知识点一 一元线性回归模型
称为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．
知识点二 最小二乘法
将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中＝，＝－.
思考1 经验回归方程一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一点吗？
答案 不一定．
思考2 点(，)在经验回归直线上吗？
答案 在．
知识点三 残差与残差分析
1．残差
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．
2．残差分析
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
知识点四 对模型刻画数据效果的分析
1．残差图法
在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系．
2．残差平方和法
残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
3．R2法
可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．
思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？
答案 不一定，他只是真实值的一个预测估计值．
1．求经验回归方程前可以不进行相关性检验．( × )
2．在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( √ )
3．利用经验回归方程求出的值是准确值．( × )
4．残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好．( √ )
5．R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．( × )
一、求经验回归方程
例1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
解 (1)散点图如图所示：
(2)＝＝9，
＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故经验回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中经验回归方程可知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，即预测记忆力为9的同学的判断力为4.
反思感悟 求经验回归方程可分如下四步来完成
(1)列：列表表示xi，yi，x，xiyi.
(2)算：计算，，，iyi.
(3)代：代入公式计算，的值．
(4)写：写出经验回归方程．
跟踪训练1 随着我国经济的发展，居民储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y (千亿元) 5 6 7 8 10
(1)求y关于t的经验回归方程＝t＋；
(2)用所求经验回归方程预测该地区2021年(t＝7)的人民币储蓄存款．
解 (1)由题意可知，n＝5，＝i＝＝3，
＝i＝＝7.2.
又＝55，
iyi＝120，
计算得，＝1.2，＝－＝7.2－1.2×3＝3.6.
故所求经验回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝7代入＝1.2t＋3.6，可得＝1.2×7＋3.6＝12(千亿元)，
所以预测该地区2021年的人民币储蓄存款为12千亿元．
二、线性回归分析
例2 已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y关于x的经验回归方程，并借助残差平方和和R2说明回归模型拟合效果的好坏．
解 ＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好．
反思感悟 刻画回归效果的三种方法
(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
(2)残差平方和法：残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
(3)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好．
跟踪训练2 为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求经验回归方程；
(2)求出R2;
(3)进行残差分析．
解 (1)散点图如图 .
＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，
＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
＝2 275，＝554.659 4，iyi＝1 076.2，
计算得，≈0.183，≈6.285，
所求经验回归方程为＝0.183x＋6.285.
(2)残差表如下：
yi－i 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－ －2.237 －1.367 －0.537 0.413 1.413 2.313
所以(yi－i)2≈0.013 18，(yi－)2≈14.678 3.
所以R2≈1－≈0.999 1，
所以回归模型的拟合效果很好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有，则需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与重量成线性关系．
三、非线性回归
例3 下表为收集到的一组数据：
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
(3)利用所得模型，预测x＝40时y的值．
解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数型曲线y＝c1的周围，其中c1，c2为待定的参数．
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用经验回归模型来建立y与x之间的非线性经验回归方程了，数据可以转化为
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
求得经验回归方程为＝0.272x－3.849，
∴＝e0.272x－3.849.
残差表如下：
yi 7 11 21 24 66 115 325
i 6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325
i 0.557 －0.101 1.875 －8.950 9.23 －13.381 34.675
(3)当x＝40时，＝e0.272×40－3.849≈1 131.
反思感悟 非线性回归问题的处理方法
(1)指数函数型y＝ebx＋a
①函数y＝ebx＋a的图象，如图所示；
②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
(2)对数函数型y＝bln x＋a
①函数y＝bln x＋a的图象，如图所示；
②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，
再根据线性回归模型的方法求出a，b.
(3)y＝bx2＋a型
处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
跟踪训练3 为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
求y关于x的非线性经验回归方程．
解 作出散点图如图(1)所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝cebx的周围，则ln y＝bx＋ln c.
令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a.
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合．
由表中数据得到经验回归方程为＝0.69x＋1.115.因此细菌的繁殖个数y关于天数x的非线性经验回归方程为＝e0.69x＋1.115.
1．(多选)以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是( )
答案 AC
解析 AC中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 A
解析 决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
3．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的经验回归方程为y＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )
A．一定是20.3%
B．在20.3%附近的可能性比较大
C．无任何参考数据
D．以上解释都无道理
答案 B
解析 将x＝36代入经验回归方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3，故这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.
4．由变量x与y相对应的一组成对样本数据(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19，y5)得到的经验回归方程为＝2x＋45，则＝________.
答案 63
解析 ∵＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，＝2＋45，
∴＝2×9＋45＝63.
5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的非线性经验回归方程为________．
答案 ＝e0.25x－2.58
解析 因为＝0.25x－2.58，＝ln y，
所以＝e0.25x－2.58.
1．知识清单：
(1)一元线性回归模型．
(2)最小二乘法、经验回归方程的求法．
(3)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R2法．
2．方法归纳：数形结合、转化化归．
3．常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误．
1．如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其R2的值应接近于( )
A．0.5 B．2 C．0 D．1
答案 D
解析 R2越接近于1，相关程度越高，故选D.
2．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
答案 A
解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
3．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的经验回归方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
答案 B
解析 因为经验回归方程的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．
4．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( )
A．y＝a·xb B．y＝a＋bln x
C．y＝a·ebx D．y＝a·
答案 B
解析 由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合．
5．(多选)对于经验回归方程＝x＋ (>0)，下列说法正确的是( )
A．当x增加一个单位时，的值平均增加个单位
B．点(，)一定在＝x＋所表示的直线上
C．当x＝t时，一定有y＝t＋
D．当x＝t时，y的值近似为t＋
答案 ABD
解析 经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，所以有些散点不一定在经验回归直线上．
6．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元．
答案 12.1
解析 将x＝15代入＝0.8x＋0.1，得＝12.1.
7．若经验回归直线方程中的回归系数＝0，则样本相关系数r＝________.
答案 0
解析 样本相关系数r＝与＝的分子相同，故r＝0.
8．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：
时间 二月 上旬 二月 中旬 二月 下旬 三月 上旬
旬平均气温x(℃) 3 8 12 17
旬销售量y(件) 55 m 33 24
由表中数据算出经验回归方程＝x＋中的＝－2，样本点的中心为(10,38)．
(1)表中数据m＝________；
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为________件．
答案 (1)40 (2)14
解析 (1)由＝38，得m＝40.
(2)由＝－得＝58，故＝－2x＋58，
当x＝22时，＝14，
故三月中旬的销售量约为14件．
9．已知变量x，y有如下对应数据：
x 1 2 3 4
y 1 3 4 5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x，y的经验回归方程．
解 (1)散点图如图所示．
(2)＝＝，＝＝，
iyi＝1＋6＋12＋20＝39，＝1＋4＋9＋16＝30，
＝＝，
＝－×＝0，
所以＝x即为所求的经验回归方程．
10．由某种设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据资料算得如下结果，＝90，iyi＝112，i＝20，i＝25.
(1)求所支出的维修费y关于使用年限x的经验回归方程＝x＋；
(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？
解 (1)∵i＝20，i＝25，
∴＝i＝4，＝i＝5，
∴＝＝＝1.2，
＝－＝5－1.2×4＝0.2.
∴所求经验回归方程为＝1.2x＋0.2.
(2)①由(1)知＝1.2>0，∴变量x与y之间是正相关．
②由(1)知，当x＝8时，＝1.2×8＋0.2＝9.8，
即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元．
11．设两个变量x和Y之间具有线性相关关系，它们的样本相关系数是r，Y关于x的经验回归方程的回归系数为，回归截距是，那么必有( )
A.与r的符号相同 B.与r的符号相同
C.与r的符号相反 D.与r的符号相反
答案 A
解析 与r的符号相同．
12．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．据某机构预测，n(n≥10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系，且经验回归方程为＝0.4x＋1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为( )
A．60% B．64% C．58% D．55%
答案 B
解析 把x＝5代入经验回归方程＝0.4x＋1.2中，得＝0.4×5＋1.2＝3.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为＝0.64＝64%，故选B.
13．(多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．经验回归方程过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg
答案 ABC
解析 A，B，C均正确，是经验回归方程的性质，D项是错误的，经验回归方程只能预测学生的体重，应为大约58.79 kg.
14．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm,182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.
答案 185
解析 因为儿子的身高与父亲的身高有关，所以设儿子的身高为Y(单位：cm)，父亲身高为X(单位：cm)，根据数据列表：
X 173 170 176
Y 170 176 182
由表中数据，求得回归系数＝1，＝3.
于是儿子身高与父亲身高的关系式为Y＝X＋3，
当X＝182时，Y＝185.
故预测该老师的孙子的身高为185 cm.
15．已知变量y关于x的非线性经验回归方程为＝ex－0.5，其一组数据如下表所示：
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
若x＝5，则预测y的值可能为( )
A．e5 B． C．e7 D．
答案 D
解析 将式子两边取对数，得到ln ＝x－0.5，
令z＝ln ，得到z＝x－0.5，
列出x，z的取值对应的表格如下：
x 1 2 3 4
z 1 3 4 6
则＝＝2.5，＝＝3.5，
∵(，)满足z＝x－0.5，
∴3.5＝×2.5－0.5，解得＝1.6，
∴z＝1.6x－0.5，∴＝e1.6x－0.5，
当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝.
16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
(1)求经验回归方程＝x＋，其中＝－20；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解 (1)由于＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而经验回归方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．