3.1.1 椭圆及其标准方程1(共27张PPT)

(共27张PPT)
行星绕太阳运行的轨道
教学目标：
1.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程.
2.能根据已知条件求椭圆的标准方程.
教学重点：椭圆的定义及其标准方程.
教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简.
用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.
我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线( conic sections）
椭圆是圆锥曲线的一种，在科研、生产以及人类生活中具有广泛的应用.
生活、学习中大家在哪些地方见过椭圆？
用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆。
如果改变圆锥的轴与截平面所成的角,那么会得到怎样的曲线呢？
情境引入
生活中的椭圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
情境引入
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2.套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
椭圆
笔尖移动过程中，绳长保持不变，笔尖到两个定点的距离的和等于常数。即|M F1 |+| M F2 |=常数（绳长）>| F1 F2 |
思考1：在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
探究一 ： 椭圆的定义
体验探究
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆.
椭圆的定义
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，
焦距的一半称为半焦距.
发现新知
注意:椭圆定义中容易遗漏的地方：
（1）两个定点间的距离--- | F1F2 |=2c
（2）与两个定点F1,F2的距离的和等于常数---| MF1 |+|M F2 |=2a
（3）2a>2c
2c
M
F1
F2
思考2：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆.
| F1F2 |=2c , | MF1 |+|M F2 |=2a
2a>2c
2a=2c
2a<2c
小结
F1
F2
2c
M
F1
F2
的点的轨迹是什么图形？
椭圆
线段
不存在
解惑提高
探究二 ： 椭圆标准方程的推导
思考4：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单
思考3：类比研究直线与圆的方程的思路，你能猜想建立椭圆的方程的大致步骤吗？
体验探究
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0),那么焦点F1、F2 的坐标分别为(-c, 0), (c, 0).
O
x
M
F2
F1
y
如何化简呢？
体验探究
建系
设点
以F1、F2所在直线为x轴， 线段F1F2 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy.
根据椭圆的定义,得
列式
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得
对方程②两边平方，得
整理，得
对方程③两边平方，得
体验探究
O
x
M
F2
F1
y
O
x
M
F2
F1
y
整理，得
由椭圆的定义可知
体验探究
思考5：
O
x
P
F2
F1
y
a
c
体验探究
从上述推导过程，可以看出
1、椭圆上任一点的坐标（x，y）都满足方程⑥；
2、以方程⑥的解为坐标的点（x，y）与椭圆的两个焦点（c，0）,(-c，0)的距离之和为2a，即以方程⑥为坐标的点都在椭圆上。
⑥
则我们称方程⑥为椭圆的标准方程。
它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的椭圆， 这里c2=a2-b2.
发现新知
建系，设点
根据几何条件列方程
找动点满足的几何条件
检验方程
化简方程
归纳建立椭圆方程的一般步骤
体验探究
y
M
F2
F1
x
O
思考6：如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1, F2的坐标分别为(0，-c)，(0， c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
容易知道，此时椭圆的方程是
这个方程也是椭圆的标准方程.
发现新知
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程特点：左边是加法,分子是x2,y2,分母是a2,b2,右边是1
判断焦点位置方法：x2,y2分母哪个大,焦点就在相应坐标轴上.
发现新知
范例学习
范例学习
求椭圆的标准方程
（1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（定位）
（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b　 （定量）
数形
结合
方程
思想
范例学习
(2)a=5,b=3,c=4, 焦点在y轴，
焦点(0，-4)、(0，4)，焦距为8．
(1)a=10,b=8,c=6, 焦点在x轴，
焦点(-6，0)、(6，0)，焦距为12；
1.判断下列椭圆的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距．
巩固检测
(2)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点M的轨迹。
(3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点M的轨迹。
因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。
(4)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的M轨迹。
因|MF1|+|MF2|=4＜|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在。
巩固检测
因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆
(是线段F1F2)。
3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) a=4，b=1，焦点在x轴上；
(2) a=4，c= ，焦点在y轴上；
(3) a +b=10，c= ．
巩固检测
椭圆的定义
图形
标准方程
焦点坐标
用a，b表示c
焦点位置的
判断
看标准方程的分母，谁的分母大就在其对应的轴上。（反之亦然）
课外作业： 习题3.1：1，2 .
课后探索：
方程 什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？能表示圆吗？
谢谢大家
再见！