3.3.2抛物线的简单几何性质(共23张PPT)

(共23张PPT)
3.3抛物线
3.3.2抛物线的简单几何性质
类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些性质？
思考？
抛物线有许多重要性质。结合抛物线的标准方程 y2=2px (p>0) … ① 和其图形,研究它的一些简单几何性质:
F
M
x
O
y
l
1、范围
因为，由方程① 可知，对于抛物线①上的点M(x , y)，x ≥ 0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同；当x的值增大时， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
以-y 代 y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称。把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
2、对称性
关于x轴对称
F
P
x
O
y
l
在方程①中，当 y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点。
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
3、顶点
坐标原点
抛物线上的点p到焦点 的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e=1.
4、离心率
e=1.
抛物线 y2=2px (p>0)上的点p(x0 , y0)到焦点F 的距离
5、焦半径
F
P
x
O
y
l
B
A
H
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
6、通径
通径的长度：2p
思考 ：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
是
归纳特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无
限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P 越大,开口越开阔
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
典型例题
例1. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点, 并且过点 ，求它的标准方程。
解：抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M,所以设标准方程为：
点M在抛物线上，所以
即p=2
因此，所求抛物线标准方程是
说明：当焦点在 x(y)轴上,开口方向不定时, 设为 y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)), 可避免讨论.
顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴 ,并且经过点
思考
的抛物线有几条 求它的标准方程。
解：这样的抛物线有两条。由题意，设所求标准方程为：
或
∵点M在抛物线上，∴
或
或
因此，所求抛物线标准方程是
或
例2.斜率为1的直线 l 经过抛物线 y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A , B两点,求线段AB的长.
分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线方程联立，可以求出A，B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以出 。这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算。
y2=4x
l
A
y
x
O
B
F
A′
y2=4x
l
A
y
x
B′
O
B
F
下面介绍另外一种方法---数形结合求焦点弦的长度
设A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 由抛物线的定义可知，
等于点A到准线的距离 设 则 于是
同理，
于是得
由此可见，只要求出点A，B的横坐标之和x1+x2，就可以求出
解：如图，设A(x1 , y1) , B(x2 , y2)，点 A，B 到准线的距离分别为 dA , dB .由抛物线的定义可知
A′
y2=4x
l
A
y
x
B′
O
B
F
于是得
由已知得抛物线的焦点为F(1 , 0) ，所以直线AB 的方程为 y=x-1 . …① 将① 代入方程 y2=4x ，得
化简得
由求根公式得
于是
所以, 线段AB 的长是 8 .
1.过抛物线y2=2px的焦点做倾斜角为θ的直线 l ,设l交抛物线于A , B两点，(1)求|AB|；(2)求|AB|的最小值.
课堂练习
2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线 3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_________.
小结
1.解：设两交点为A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ，抛物线方程为 y2=2px (p>0), 则焦点
1.过抛物线y2=2px的焦点做倾斜角为θ的直线 l ,设l交抛物线于A , B两点，(1)求|AB|；(2)求|AB|的最小值.
2.解：
所以抛物线的焦点是
即抛物线的通径长为16。
2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线 3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_________.
(2).因
所以
小结
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;
方程
图
形
范围
对称性
顶点
焦半径
焦点弦的长度
y2 = 2px
（p＞0）
y2 = -2px
（p＞0）
x2 = 2py
（p＞0）
x2 = -2py
（p＞0）
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
x∈R
y≥0
y≤0
x∈R
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
（0 , 0）
（0 , 0）
（0 , 0）
（0 , 0）
例3. 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
证明：如图3.3-5，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系xOy.设抛物线的方程为
课后作业
课本 P138 习题 3.3
5，6，7，8，9，10，11
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