3.2双曲线的简单几何性质(共27张PPT)

(共27张PPT)
双曲线的简单几何性质(1)
古希腊数学家阿波罗尼采用一个平面去截一个圆锥面，得到的截口曲线就称为圆锥曲线 ,通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线.




椭圆
双曲线
抛物线
圆锥曲线名字的由来:
阅读教材回答下列问题：
1，回忆椭圆的几何性质是从哪几方面来研究的，
分别是什么？
2，双曲线的范围，对称性，顶点，实轴，虚轴
是什么？离心率是什么？能反映双曲线的什么？
3，双曲线里还有什么椭圆没有的性质？你在哪里
见过渐近线？
o
Y
X
关于x,y轴,
原点对称
(±a,0),(0,±b)
(±c,0)
A1A2 ; B1B2
|x| a,|y|≤b
F1
F2
A1
A2
B2
B1
椭圆的图像与性质:
y
x
F1
F2
A1
A2
B1
B2
双曲线的简单几何性质
标 准 方 程
范 围
对称性
顶 点
焦 点
对称轴
离心率
渐近线
O
2、对称性
一、研究双曲线 的简单几何性质
1、范围
关于x轴、y轴和原点都是对称的.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。
x
y
O
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
讲授新课
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x
y
O
-b
b
-a
a
如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长
（2）
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线
（3）
M(x,y)
4、渐近线
N(x,y’)
Q
x
y
o
a
b
动画演示
慢慢靠近
利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图
4、渐近线
5、离心率
离心率。
c>a>0
e >1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!
（1）定义：
（2）e的范围：
（3）e的含义：
e越大双曲线越开阔
（4）等轴双曲线的离心率e=
( 5 )
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程：
y
x
1、
范围：
x≥a或x≤-a
2、对称性：
关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点:
A1（-a，0），A2（a，0）
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
A1
A2
B1
B2
5、渐近线方程：
6、离心率：
e=
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
关于x轴、y轴、原点对称
渐进线
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
x
B1
y
O
.
F2
F1
B2
A1
A2
.
F1(-c,0)
F2(c,0)
F2(0,c)
F1(0,-c)
如何记忆双曲线的渐进线方程？
双曲线简单几何性质的应用
例1、求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程。
由此可知，实半轴长 a=4，虚半轴长 b=3 ,
焦点坐标是
离心率是
渐进线方程为
说明：双曲线性质的直接应用。
解：把方程9y2-16x2=144 化为标准方程
例2
例3、双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
13
12
25
解：如图，
在冷却塔的轴截面所在的平面上建立直角坐标系xoy，使小圆的直径AA′
在x轴上，圆心与原点重合。这时，
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
13
12
25
令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y-55）。
因为点B、 C在双曲线上，所以
设双曲线的方程为
②
①
由方程② ，得
（负值舍去），
代入方程①，得
用计数器解方程③ ，得
化简得
③
所以，所求双曲线的方程为
小结
(5)渐近线方程：
1、
巩固训练
1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为 。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线斜率为 。
3、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36,
(2)25x2－4y2=100.
2x±3y=0
5x±2y=0
4、双曲线4x2－9y2=36上的一点P到右焦点的距离是5，求P到左焦点的距离.
巩固训练
标准方程
2a
2b
范围
顶点
焦点
离心率
渐近线
6
18
|x|≥3
(±3,0)
y=±3x
4
4
|y|≥2
(0,±2)
10
14
|y|≥5
(0,±5)
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
关于x轴、y轴、原点对称
渐进线
F2(0,c)
F1(0,-c)
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
F1(-c,0)
F2(c,0)
x
B1
y
O
.
F2
F1
B2
A1
A2
.
课堂小结
椭 圆 双曲线
方程
a b c关系
图象
y
x
F1
0
F2
M
x
y
0
F1
F2
p
椭圆与双曲线的性质比较：
图象
范围 |x| a , |y|≤b |x| ≥ a，y R
对称性 对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点 对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点
顶点 （-a, 0) (a,0) (0,b) (0,-b)
长轴：2a 短轴：2b (-a , 0) (a , 0)
实轴：2a ; 虚轴：2b
离心率
渐近线 无
y
x
F1
0
F2
M
x
y
0
F1
F2
p
作业
课本P127 习题 3.2
3,4,6,8,9